最佳平方逼近方法.docx

2016-2017(1)专业课程实践论文
用最佳平方逼近法求逼近函数
肖夏, 29,R数学12-1班
一、 算法理论
设函数组φ0,φ1,…,φm都是[a,b]上的连续函数,并且在[a,b]上线性无关。以此函数组为基,生成空间C[a,b]上的一个子空间
H=Span{φ0,φ1,…,φm}
则H中的任意一个元素为
px=j=0mcjφjx
对空间C[a,b]的任意两个函数f,g,定义内积
f,g=abωxfxgxdx
对于给定的函数f(x)∈C[a,b],若p*x∈H,满足
f-p*,f-p*=minp∈Hf-p,f-p
则称p*x为子空间H中对于f(x)的最佳逼***方元素。
特别地,若φjx=xj,j=0,1,…m则称满足条件的p*x∈H,为函数fx在区间[a,b]上带权ωx的m次最佳平方逼近多项式。
设f(x)∈C[a,b],p*x∈H是子空间H中对于f(x)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是f-p*,φj=0,(j=0,1,…,m)或对于任意一个px,总有f-p*,p=0。
求最佳平方逼近元素p*x=k=0mck*φkx,只要求出ck*。
因
f-p*,φj=f,φj-k=0mck*φi,φj=0
得
k=0mck*φi,φj=f,φj
得
φ0,φ0⋯φ0,φm⋮⋱⋮φm,φ0⋯φm,φmc0*⋮cm*=f,φ0⋮f,φm
求出ck*,带入p*x=k=0mck*φkx即可。
二、算法框图
开始
定义权函数ω(x),和函数f(x)
输入a,b,m
否
m≥0
是
for k=1:n+1
for j=1:n+1
结束
lk,j=abωxfxφxdx
结束
结束
yk=abfxφxdx
结束
c(i)
结束
px=c(i)φix
三、算法程序
function S=abc(n,a,b) //创建一个函数,里面填入次数,和区间范围
base=inline('x^(j-1)','x','j');///定义
quan=inline('1','x');
for k=1:(n+1)
for j=1:(n+1)
syms x
l(k,j)=int(base(x,k)*base(x,j)*quan(x),x,a,b); end
y(k)=int(base(x,k)*(sqrt(x^2+1)),x,a,b);//红色字体是fx
end
l;
y';
c=vpa(inv(l)*y',3)
p=0;
for i=1:(n+1)
p=p+c(i)*base(x,i);
end
p
四、算法实现
=x2+1在0,1上的一次最佳平方逼近多项式。
解:
f,φ0=01x2+1dx=12ln1+2+22≈
f,φ1=01xx2+1dx=22-13≈
由方程组
1121213c0c1=
c0=,c1=,p1*x=+
第一题的解:
例2. 求fx=sinx在0,π3上的一次最佳平方逼近多