小学六年级奥数教案—30趣题巧解.docx

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小学六年级奥数教案—30趣题巧解
本教程共30讲
趣题巧解
生活中的很多事都蕴含着数学思想,我们先看一个猜数玩耍。甲心中想一个32以内的数,乙只许问“比某数大吗?”甲只答复“是”或“不”,那么乙最多5次必可猜中。比方甲想的是23,下面是5次提问与答复:
〔1〕“比16大吗?”,“是”;〔2〕“比24大吗?”,“不”;
〔3〕“比20大吗?”,“是”;〔4〕“比22大吗?”,“是”;
〔5〕“比23大吗?”,“不”。于是乙猜中甲想的23。
这里乙用的是对分法。32的一半是16,第1次问话后,乙知道甲想的数在17~32之间;17~32中间的数是24,其次次问话后,乙知道甲想的数在17~24之间。依此类推,由于32=25,经5次对分,必猜中。
对分法适用于一次试验仅有两种不同结果的情形。
例1有1000箱外形完全一样的产品,其中999箱重量一样,有1箱次品重量较轻。现有一个称〔一次可称量500箱〕,怎样才能尽快找出这箱次品?
分析与解:由于称量一次只有两种结果:等于规定重量或轻于规定重量,所以可用对分法。先取500箱称,假设等于规定重量,则次品在另500箱中;假设轻于规定重量,则次品在这500箱中。然后对有次品的500箱再对分,取其中的250箱称……由于1000<1024=210,所以经过10次称必可查出次品。
假设一次试验可以有三种不同的结果,则可用三分法。
例2现有80粒重量、外形完全一样的珍宝和1粒外形一样、但重量较轻的假珍宝,怎样才能用一台天平尽快地将这粒假珍宝挑出来?
分析与解:由于天平称重有三种结果;①两边一样重,②左边重,
③右边重,所以可以用三分法。
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先将81粒珍宝三等分,在天平两边各放27粒珍宝,天平下还有27粒。假设两边一样重,则假珍宝在天平下的27粒中;假设左边重,则假珍宝在天平右边的27粒中;假设右边重,则假珍宝在天平左边的27粒中。
然后再将有假珍宝的一堆三等份,连续上面的做法。由于81=34,所以只需要称4次就可将假珍宝挑出来。
我们再看看“空瓶换酒问题”。
例3某商店出售啤酒,规定每5个空啤酒瓶能换1瓶啤酒。张叔叔家买了80瓶啤酒,喝完后再按规定用空啤酒瓶去换啤酒,那么他们家前后共能喝到多少瓶啤酒?
分析与解:我们依据实际换酒过程分析:
喝掉80瓶啤酒,用80个空瓶换回16瓶啤酒;
喝掉16瓶啤酒,用16个空瓶换回3瓶啤酒余1个空瓶;
喝掉3瓶啤酒,连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶。此时,再借1个空瓶,与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶啤酒,喝完后将空瓶还了。
所以,他们家前后共喝到啤酒80+16+3+1=100〔瓶〕。
解例3的关键是:正确运用“5个空瓶可换1瓶啤酒”这个条件,特别是最终一次换瓶的技巧,你不充分利用可就“吃亏了”!但假设一开头酒的瓶数很多,那么这个换酒的过程就会很长。有没有简便的算法呢?留意到“每5个空瓶可换一瓶啤酒”〔连酒带瓶〕这个条件,可知每4个空瓶就能换到一瓶啤酒〔不带瓶〕,那么喝剩的80个空瓶共能换到20瓶啤酒,所以张叔叔家前后共能喝到80+20=100〔瓶〕啤酒。综合式是80+80÷〔5-1〕=100〔瓶〕。
有了上面的简捷思路,求解类似的问题就简洁多了。
例4一块钢锭可以铸成25个机器零件的毛坯,每加工5个机器零件
的毛坯所剩的脚料又可以铸成一个机器零件的毛坯。现在有这种钢锭10块,最多可以加工多少个机器零件?
分析与解:这类“铸坯加工零件”问题明显也属于“空瓶换酒”问题。由“每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可铸成一个机器零件的毛坯”可知,实际每加工5个机器零件只需要4个机器零件的毛坯
〔没有脚料〕,即每
〔个〕机器零件。留意,此处不能使用四舍五入,只能使用去尾法。综合式是
也可以这样想:由于每加工5个机器零件只需要4个机器零件毛坯
〔没有
10≈312〔个〕机器零件。综合式是
例55个空瓶可以换一瓶汽水,某班同学喝了189瓶汽水,其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的,那么他们至少要买多少瓶?
分析与解:此题告知了按空瓶换汽水的原则和共能喝到的汽水,反过来求原先至少要买的汽水瓶数。依据“5个空瓶可以换1瓶汽水”
〔连汽水带瓶〕
能喝到189瓶汽水呢?明显至少应买汽水
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留意,此处不能使用四舍五入,只能使用收尾法。综合式是
下面,我们讲讲如何利用对称的思想来分析解决问题。
例6甲、乙两人轮番往一个圆桌面上放同样大小的硬币。规章是:每人每次只能放一枚,硬币不许重叠,谁放完最终一枚硬币而使对方再也无处可放,谁就获胜。假设甲先放,那么他怎样放才能取胜?
分析与解:这道题初看太抽象,既不知道圆桌的大小,又不知道硬币的大小,谁知道该怎样放呀!我们用对称的思想来分析一下。圆是关于圆心对称的图形,假设A是圆内除圆心外的任意一点,则圆内肯定有一点B与A关于圆心对称〔见右图,其中AO=OB〕。所以,圆内除圆心外,任意一点都有一个〔关于圆心的〕对称点。由此可以想到,只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处,以后无论乙将硬币放在何处,甲肯定能找到与之对称的点放置硬币。也就是说,只要乙能放,甲就肯定能放。最终无处可放硬币的必是乙。
甲的获胜策略是:把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处,以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币。
这种利用对称思想的获胜策略表达出了一种灵巧,而这种灵巧来源于数学思想。同学们常常进展这种熬炼,就会变得越来越聪明。比方,有两堆火柴,第一堆20根,其次堆25根,甲、乙二人轮番从中取火柴,每次可以从任一堆中取走任意数量的火柴,取走最终一根火柴者胜。甲先取,怎样才能保证获胜?利用对称的思想分析,只要甲先从其次堆中取走5根,此时两堆火柴的数量相等〔也是一种对称〕,以后无论乙从哪一堆取多少根火柴,甲都对称地从另一堆取一样数量的火柴,只要乙能取,甲就能取,所以最终一根必被甲取走,甲胜。
例7十个一样的圆摆成左以下图所示的外形,过其中两个圆的圆心A和B作直线,求直线右上方圆内总面积与直线左下方圆内总面积的比。
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分析与解:我们把直线AB以及AB经过的四个圆单独画成右上图,此图关于C点对称,所以这四个圆正好被平均分成两局部,即直线两侧的面积各为2个圆面积。所以在左上图中,直线右上侧圆内面积总和是4个圆面积,直线左下侧圆内面积总和是6个是圆面积,两者的面积比是4/6=2/3。
练****30
甲、乙玩猜数玩耍。甲在心中想好一个1000以内的数,乙只许问“比某数小吗?”甲只答复“是”或“不是”。那么乙最少问几次就肯定能猜中这个数?
现有700粒一样的珍宝和1粒外形一样、重量略轻的假珍宝,用一台天平至少称几次,就肯定能把这粒假珍宝挑出来?
某校开运动会,学校给同学们买来50箱汽水,每箱24瓶。由于商店规定每6个空瓶可换到一瓶汽水,所以同学们每喝完6瓶汽水就去换一瓶,这样他们共能多喝多少瓶汽水?
一块铝锭可铸成20个机器零件毛坯,每4个毛坯车成零件后的铝屑又能铸成一个毛坯。那么7块这样的铝锭最多能车成多少个机器零
件?
某校开运动会,打算发给1000位学生每人一瓶汽水,由于商店规定每6个空瓶可换到一瓶汽水,所以学校不必买1000瓶汽水,那么最少要买多少瓶汽水?
有一艘轮船停在港口里,轮船的外舷有一软梯,软梯的第一级正好挨着海面,往上每隔20厘米有一级。这时海水正在涨潮,每小时上涨30厘米。问:经过多长时间,海水涨到软梯的第四级?
红、蓝墨水各一瓶,用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中,搅拌后,再从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中。这时红墨水中的蓝墨水多,还是蓝墨水中的红墨水多?
答案与提示练****30
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。
提示:210=1024>1000,与例1类似,利用对分法,10次必能猜中。
。
解:36=729>701,与例2类似,利用三分法,6次必能挑出来。
。解:24×50÷〔6-1〕=240〔瓶〕。
由于“水涨船高”,所以永久涨不到。
一样多。
提示:变化后两瓶墨水的体积都没变,所以红墨水中进来多少蓝墨水,必定有一样体积的红墨水进入蓝黑水,即红墨水中的蓝墨水与蓝黑水中的红墨水一样多。
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