第四节曲线凹凸性、拐点.ppt

第四节曲线凹凸性、拐点.ppt第四节曲线凹凸性、拐点
一. 问题引入
二. 曲线的凹凸性及其判别方法
三. 曲线的拐点
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教学目标
1. 掌握函数的凹凸性、拐点的定义.
掌握函数凹凸性的判别方法.
掌握函数的拐点的判别方法.
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一. 问题的引入
曲线除了有上升或下降的性态, 还有弯曲方向的性态.
y
0
x
A
B
D
C
图 a
A
y
0
x
B
D
C
图 b
图a中, 曲线从A到B是单调增加的, 但弧是凹的曲线
弧, 而弧是凸的曲线弧.
y
0
x
A
B
D
C
A
y
0
x
B
D
C
A
y
0
x
B
D
C
y
0
x
A
B
D
C
y
0
x
A
B
D
C
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图b中, 曲线从A到B是单调减少的, 但弧是凹的曲线
为了更加全面地研究函数的性态, 不仅研究函数的单调性和
极值, 还要考虑曲线的弯曲方向及弯曲方向改变的分界点, 这
便是曲线的凹凸性及拐点.
弧, 而弧是凸的曲线弧.
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定义2 设函数 y = ƒ(x) 在区间 I 内可导. 若该函数曲线在
I 内总位于其上任意一点切线的上方(即曲线向上弯曲), 则
称该曲线在 I 内是凹的; 区间 I 为该曲线的凹区间. 用符号
∪表示.
o
x
y
y =ƒ(x)
二. 曲线的凹凸性及其判别方法
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若该函数曲线在 I 内总是位于其
上任意一点的切线下方(即曲线向下
弯曲), 则称该曲线在I 内是凸的; 区
间 I 为该曲线的凸区间. 用符号∩表
示.
人们常将曲线所具有的凹或凸的性质称为曲线的凹凸性.
o
x
y
y=ƒ(x)
曲线的凹凸性也可等价描述如下.
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则称曲线在该区间内是凸(凹)的.
o
x
y
•
•
A
B
o
x
y
A
B
•
•
y = ƒ(x)
y = ƒ(x)
定义3 若曲线y = ƒ(x)在区间 I 内连续, 对
有
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A
A
B
B
显然, 用定义来判别曲线的凸性是
极不方便的. 由定义2知凸的曲线从点
A移到点B 时, 对应的切线斜率
而凹的曲线从点A移到点B时, 对应的切线斜率
单调增加的.
从而, 当
存在时, 则可用二阶导数的符号来判别曲
线的凹凸性.
单调
单调减少的.
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定理10 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
分析
证
均有
y= f(x) 在(a,b) 上是凹的;
均有
y= f(x) 在(a,b) 上是凸的;
因为
存在,
则曲线在任意一点(x0,ƒ(x0))的切线方程为
为曲线上的另一个任意点, 则
设
只需证明
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o
x
y
a
•
•
b
y= ƒ(x)
•
}
由ƒ(x) 在 x0 与
之间满足拉格朗日中值定理, 得
切线上对应点纵坐标
必须满足
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