工科数学分析-07数分试卷6学分答案.doc

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华南理工大学考试
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准
注意事项:1. 考前请将密封线内填写清楚;
2. 所有答案请直接答在试卷上;
:闭卷;
4. 本试卷共两大题, 满分100分,考试时间120分钟。
题号
一. 计算
二. 证明
总分
得分
评卷人
一. 计算题(共8题,每题9分,共72分)。
求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限.
解: ,因此二重极限为.……(4分)
因为与均不存在,
故二次极限均不存在。……(9分)
设是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.
解: 对两方程分别关于求偏导:

,
……(4分)
。
解此方程组并整理得. ……(9分)
取为新自变量及为新函数,变换方程
。
设(假设出现的导数皆连续).
解:看成是的复合函数如下:
。……(4分)
代人原方程,并将变换为。整理得:
。……(9分)
要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?
解: 设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为:求目标函数在约束条件下的最小值,其中
目标函数: ,
约束条件: 。……(3分)
构造Lagrange函数:。
令……(6分)
解得,故有由题意知问题的最小值必存在,当底面半径为高为时,制作圆桶用料最省。……(9分)
设,计算.
解:由含参积分的求导公式
……(5分)

。……(9分)
求曲线所围的面积,其中常数.
解:利用坐标变换由于,则图象在第一三象限,从而可以利用对称性,只需求第一象限内的面积。
。……(3分)
则
……(6分)

. ……(9分)
7. 计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线(为一椭圆),从轴的正向看去,是逆时针方向.
解: 取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面,定向为上侧,则的法向量为
。……(3分)
由Stokes公式得

……(6分)

……(9分)
8. 计算积分,为椭球的上半部分的下侧.
解:椭球的参数方程为,其中且
。……(3分)
积分方向向下,取负号,因此,
……(6分)

……(9分)

二. 证明题(共3题,共28分)。
9.(9分) 讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.
解:连续性:当时,
,当,
从而函数在原点处连续。……(3分)
可偏导性:,
,
即函数在原点处可偏导。……(5分)
可微性: 不存在,
从而函数在原点处不可微。……(9分)
10.(9分) (9分) 设满足:
(1)在上连续,
(2),
(3)当固定时,函数是的严格单减函数。
试证:存在,使得在上通过定义了一个函数,且在上连续。
证明:(i)先证隐函数的存在性。
由条件(3)知,在上是的严格单减函数,而由条件(2)知