椭圆轨道上行星运动速度和能量.doc

卫星椭圆轨道问题探析
通过对万有引力知识的学****我们知道,发射卫星的最小速度是(又称第一宇宙速度),此时卫星以最大速度绕地球表面作圆周运动;当发射速度达时(又称第二宇宙速度),卫星以地球球心为焦点作抛物线运动,当然再也不可能返回地球,因为抛物线为非闭合曲线;当发射速度介于和之间时,卫星作椭圆运动,并随发射速度的增大椭圆越扁,地球为椭圆的一个焦点,发射点为近地点;当卫星速度大于而小于第三宇宙速度时,它将在地球引力范围内作双曲线运动,当卫星脱离地球引力后,将绕太阳运动成为太阳的一个行星,如果控制发射速度和轨道,它也可成为其它行星的卫星;当发射速度大于第三宇宙速度时,卫星将脱离太阳系的束缚,向其他星系运动。
对于圆轨道,由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力,因此可方便地可以求解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量。但对于椭圆轨道,相对来说求解某些问题有一定的困难,下面就卫星椭圆轨道的几个问题逐一分析说明。
一、椭圆上任一点的曲率半径。
根据数学知识,曲率半径由公式给出,为了便于求导,借助椭圆的参数方程,(a、b分别为椭圆的半长轴、半短轴),把x、y的一、二阶导数代入表达式,,参数Φ分别取0、代入,得到在椭圆上这两个点所在处的曲率半径相同,等于,不等于或,式中c为椭圆焦距。该知识点中的数学能力要求已超出高中要求,但是其结论有必要作适当的介绍。
例题1:某卫星沿椭圆轨道绕地球运行,近地点离地球中心的距离是,远地点离地球中心的距离为,若卫星在近地点的速率为,则卫星在远地点时的速率是多少?
解析:做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同,设都等于。所以,在近地点时有,在远地点时有,上述两式相比得,故。学生易错的解是:卫星运行所受的万有引力提供向心力,在近地点时,有
,在远地点时有,上述两式相比得,得,以上错误在于认为做椭圆运动的卫星,在近地点和远地点的轨道曲率半径不同,且分别为c和d,这种错误在知道了椭圆曲率半径的概念后就不会犯了。
二、卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度和向心加速度。
根据牛顿第二定律,卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度由公式求解,式中R为地球球心到卫星的距离,即椭圆的一个焦点到卫星的距离。卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时,万有引力全部用来提供向心力,这时卫星的加速度就是向心加速度,而在椭圆轨道上运动的卫星,万有引力没有全部用来提供向心力,向心加速度将不再等于卫星在轨道上运动的加速度。
卫星在轨道上某点运动的向心力为,式中r是该点所在椭圆轨道的曲率半径,向心加速度,在远地点,卫星受到地球的万有引力,式中R是卫星和地球地心之间的距离。卫星此时运动所需要的向心力, ,且,卫星此时的加速度等于向心加速度,即,卫星之后在万有引力作用下向地球靠近做向心运动,万有引力产生两个作用效果,一方面提供沿轨道切向的切向力,对卫星做正功,使卫星速率越来越大,另一方面提供向心力,不断改变卫星的运动方向,万有引力产生的切向加速度和法向加速度即向心加速度之间的关系,如图1所示。到达近地点时,,,卫星之后远离地球做离心运动,万有引力同样产生两个作用效果,一方面提供沿轨道切向的切向力,对卫星做负功,使卫星速率越来越小,另一方面提供向心力,不断改变卫星的运动方向,直到远地点,周而复始。在整个运动过程中