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矩阵与伴随矩阵的关系.doc

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方阵与其伴随矩阵的关系
摘要本文给出了阶方阵的伴随矩阵的定义,讨论了阶方阵与其伴随矩阵之间的关系,例如与之间的关系,并且给出了相应的证明过程.
关键词矩阵、伴随矩阵、关系、证明
在高等代数课程中我们学****了矩阵,伴随矩阵。它们之间有很好的联系,对我们以后的学****中有很大的用处。
.
设阶方阵
.令,.
.
==.当可逆时,有,即[1].
证明:因为
所以===.
当是可逆矩阵时, ,所以由上式得
==
即
.
证毕.
=.(显然)
若可逆,则=.(显然)
设为阶方阵,则[2].
,满足,则.
证明因为,,,方程只有零解,从而,进而;
若,则方程组的基础解系中含个向量,于是,因此有.
证毕.
.
⑴当时, ,所以.
⑵当时,,==.由引理1知,+.因为则,. ,从而.
⑶当时,可逆,由1知,.
证毕.
.
当可逆时,.
所以.
当不可逆时,,.
当时
,.
,,.则
当时,,即,,则.
证毕.
当可逆时,若为的特征值,,的特征值为零,并是重的.
引理2. 设可逆,若为的特征值,则是的特征值.
证明:
若,则由得到,于是,这与可逆矛盾,所以.
同时由还有
.
因此,即是的特征值.
引理证毕.
.

.,这说明是的特征值.
由引理2知, ,所以,即是的特征值.
若,(即)时,,所以的特征值且是重的.
若

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