线性方程组的应用.docx

线性方程组在现实中的应用
线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的,不仅可以广泛地应用于工程学,计算机科学,物理学,数学,经济学,统计学,力学,信号与信号处理,通信,航空等学科和领域,同时也应用于理工类的后继课程,如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。
为了更好的运用这种理论,必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件,并根据相应的实际问题,通过适当变换所知,学会选择最有效的方法来进行解题,通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.
线性方程组的表示

1)一般形式的表示
2)向量形式:
3)矩阵形式的表示:
特别地,当时,称为齐次线性方程组,而当时,称为非齐次线性方程组

1)齐次线性方程组
2)非齐次线性方程组
二、线性方程组的应用

假设一个经济系统由三个行业:五金化工、能源(如燃料、电力等)、机械组成,每个行业的产出在各个行业中的分配见表1-1,每一列中的元素表示占该行业总产出的比例。以第二列为例,能源行业的总产出的分配如下:80%分配到五金化工行业,10%分配到机械行业,余下的供本行业使用。因为考虑了所有的产出,所以每一列的小数加起来必须等于1。把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格(即货币价值)分别用表示。试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格。
表1-2 经济系统的平衡
产出分配
购买者
五金化工
能源
机械



五金化工



能源



机械
解:从表1-2可以看出,沿列表示每个行业的产出分配到何处,沿行表示每个行业所需的投入。例如,第1行说明五金化工行业购买了80%的能源产出、40%的机械产出以及20%的本行业产出,由于三个行业的总产出价格分别是
,因此五金化工行业必须分别向三个行业支付元。五金化工行业的总支出为。为了使五金化工行业的收入等于它的支出,因此希望
。
采用类似的方法处理表 1-2中第2、3行,同上式一起构成齐次线性方程组
该方程组的通解为,此即经济系统的平衡价格向量,每个的非负取值都确定一个平衡价格的取值。例如,,则亿元,亿元。,,,那么每个行业的收入和支出相等。

设各节点的电流如图所示,则由基尔霍夫第一定律(简记为KCL)即电路中任一节点处各支路电流之间的关系:在任一节点处,支路电流的代数和在任一瞬时恒为零(通常把流入节点的电流取为负的,流出节点的电流取为正的)。该定律也称为节点电流定律),有
对于节点A: 对于节点B:
对于节点C: 对于节点D:
于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解
解之,得其解