数值分析-数值积分.ppt

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第4章数值积分
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§1 引言
1 . 数值求积的基本思想
依据微积分基本定理,对于积分
只要找到被积函数的原函数,便有下列牛顿-莱
布尼茨(Newton-Leibniz)公式:
但对于下列情形:
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(1)被积函数,诸如等等,找不到用
初等函数表示的原函数;
(2)当是由测量或数值计算给出的一张数据表.
这时,牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用.
因此有必要研究积分的数值计算问题.
由积分中值定理知,在积分区间内存在一点ξ,
成立
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就是说,底为而高为的矩形面积恰等于所求
曲边梯形的面积(图4-1).
图4-1
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问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的,因而难以
准确算出的值.
将称为区间上的平均高度.
这样,只要对平均高度提供一种算法,相应地便
获得一种数值求积方法.
用两端点“高度“与的算术平均作为平均高度
的近似值,这样导出的求积公式
是梯形公式(几何意义参看图4-2).
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图4-2
用区间中点的“高度”近似地取代平均
高度,则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
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一般地,可以在区间上适当选取某些节点,
然后用加权平均得到平均高度的近似值,这样
式中称为求积节点; 称为求积系数,亦称伴随节点
的权.
权仅仅与节点的选取有关,
构造出的求积公式具有下列形式:
的具体形式.
而不依赖于被积函数
k
A
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这类数值积分方法通常称为机械求积,其特点是将积
分求值问题归结为函数值的计算,这就避开了牛顿-莱布尼
茨公式需要寻求原函数的困难.
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2. 代数精度的概念
定义1
如果某个求积公式对于次数不超过的多项式
均能准确地成立,但对于次多项式就不准确成立,
则称该求积公式具有次代数精度.
梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度.
数值求积是近似方法,为保证精度,自然希望求积公
式对尽可能多的函数准确成立.
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欲使求积公式具有次代数精度,则只要令它
对都准确成立,就得到