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第三章插值法和最小二乘法
§ Hermite插值法
§ Hermite插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单,但都存
在插值曲线在节点处有尖点,不光滑,插值多项式在节
点处不可导等缺点
设f (x)在节点 a £ x0 ,x1 ,L, xn £ b处的函数值为y0 , y1 ,L, yn ,
设P(x)为f (x)的在区间[a,b]上的具有一阶导数的插值函数
(1) 若要求P(x)在[a,b]上具有一阶导数(一阶光滑度)
即P(x)在节点 x0 , x1,L, xn处必须满足
P(xi ) = f (xi ) = yi i = 0,1,L, n
--------(1)
P¢(xi ) = f ¢(xi ) = yi¢ i = 0,1,L, n
共2n + 2个方程可以解出2n + 2个待定的系数
因此P(x)可以是最高次数为2n + 1次的多项式
两个节点就可以用2 ´ 1 + 1 = 3次多项式作为插值函数
(2)同样,若要求P(x)在[a,b]上具有m阶导数(m阶光滑度)
即P(x)在节点 x0 , x1,L, xn处必须满足
P(xi ) = f (xi ) = yi
P¢(xi ) = f ¢(xi ) = yi¢
i = 0,1,L, n --------(2)
P¢¢(xi ) = f ¢¢(xi ) = yi¢¢
L
(m) (m) (m)
P (xi ) = f (xi ) = yi
定义1. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值,
称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项
式,记为Hk(x) , k为多项式次数
一般,k次Hermite插值多项式Hk (x)的次数k如果太高会影响
收敛性和稳定性(Runge现象),因此k不宜太大,仍用分段插值
一、两点三次Hermite插值
先考虑只有两个节点的插值问题
设f (x)在节点 x0 ,x1处的函数值为y0 , y1
在节点 x0 ,x1处的的一阶导数值为y0¢ , y1¢
两个节点最高可以用3次Hermite多项式H 3(x)作为插值函数
H 3(x)应满足插值条件
H 3(x0 ) = y0 H 3 (x1 ) = y1
H 3¢(x0 ) = y0¢ H 3¢(x1 ) = y1¢
H 3(x)应用四个插值基函数表示
设H3(x)的插值基函数为hi (x),i = 0,1,2,3
H 3(x) = a0h0 (x) + a1h1(x) + a2h2 (x) + a3h3(x)
希望插值系数与Lagrange插值一样简单
重新假设
H 3(x) = y0α0 (x) + y1α1(x) + y0¢β0(x) + y1¢β1(x)
H 3¢(x) = y0α0¢(x) + y1α1¢(x) + y0¢β0¢(x) + y1¢β1¢(x)
其中α0 (x0 ) = 1 α0 (x1 ) = 0 α0¢(x0 ) = 0 α0¢(x1 ) = 0
α(x ) = 1 α¢(x ) = 0 α¢(x ) = 0
α1(x0 ) = 0 1 1 1 0 1 1
β(x ) = 0 β¢(x ) = 1 β¢(x ) = 0
β0(x0 ) = 0 0 1 0 0 0 1
β(x ) = 0 β¢(x ) = 0 β¢(x ) = 1
β1(x0 ) = 0 1 1 1 0 1 1
可知 x1是α0 (x)的二重零点,即可假设
2
α0 (x) = (x ­ x1 ) (ax + b)
由α0 (x0 ) = 1 α0¢(x0 ) = 0
2 1 2x0
可得 a = ­ 3 b = 2 + 3
(x0 ­ x1 ) (x0 ­ x1 ) (x0 ­ x1 )
2
α0 (x) = (x ­ x1 ) (ax + b)
æ 2x 1 2x ö
2 ç­ + + 0 ÷
= (x ­ x1 ) ç 3 2 3 ÷
è (x0 ­ x1 ) (x0 ­ x1 ) (x0 ­ x1 ) ø
2
(x ­ x ) æ 2x0 2x ö
= 1 ç + Lagrange
2 ç1 ­ ÷
x ­ x x ­ x ÷ 插值基函数
( 0 1 ) è 0 1 x0 ­ x1 ø
2
æ x ­ x ö æ x ­ x ö
= ç1 + 2 0 ÷ ç 1 ÷ 2
ç ÷ ç ÷ = (1 + 2l1(x)) × l0 (x)
è x1 ­ x0 ø è x0