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插值法
插值法是函数逼近的重要方法之一,有着广泛的应用。在生产和实验中,函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ,此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数(x),使其近似的代替f(x),有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多
项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit插值,分段插值和样条插值.
求近似函数的方法:由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异点x0 , x1, ... , xn 处的值 y0 , y1 , …, yn ,
构造一个简单函数(x) 作为函数 y=f(x) 的近似表达式
y= f(x) (x)
使(x0)=y0 , (x1)=y1 , , (xn)=yn , (a)
这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数,(x) 称为插值函数, x0 , x1, ... , xn 称为插值节点。
(a)式称为插值条件。常用的插值函数是多项式。
插值的任务就是由已知的观测点,为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的解析模型,以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。
基本概念
最简单的插值函数是代数多项式
Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …... (1)
这时插值问题变为:求n次多项式Pn(x),使满足插值条件
pn(xi)=yi,, i= 0,1,2,…,n, ……(2)
只要求出Pn(x)的系数a0 ,a1,…, an即可,为此由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+…+anx0n=y0
a0+a1x1+…+anx1n=y1
…………………….
a0+a1xn+…+anxnn=yn ……(3)
而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式
= ……(4)
由于xi互异,所以(4)右端不为零,从而方程组(3)的解 a0 ,a1 ,…an 存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,…n), Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,当阶数n越高时,病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x) 的方法----Lagrange插值和Newton插值。
Lagrange插值
一、Lagrange插值多项式
先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题(2)就是求一次多项式
P1(x)=a0+a1x 使它满足条件
P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 ,
令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 ,由于
l0(x0)=1, l0(x1)=0,
l0(x0)=0, l1(x1)=1.
这样l0(x)含有因子x-x1, 令 l0(x)=λ(x-x1), 再利用 l0(x0)=1确定其中的系数,结果得到
x-x1
l0(x)=------------ ,
x0-x1
类似的可得到 x-x0
l1(x)=------------ ,
x1-x0
这样 x-x1 x-x0
P1(x)=---------y0 + --------y1 , 。。。(5)
x0-x1 x1-x0
l0(x), l1(x)称为以x0 , x1 为节点的插值基函数。
线性插值仅仅用两个节点以上的信息,精确度较差。为了提高精确度,我们进一步考察以下三点的插值问题:
作二次多项式 P2(x)=a0 + a1x + a2x2
使其满足条件
P2(x0)=y0 , P2(x1)=y1 , P2(x2)=y2
令 P2(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 。由
l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0 ,
l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0 ,
l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1 .
这样 l0(x)含有 x-x1 , x-x2 两个因子,令 l0(x)=λ(x-x1)(x-x2) ,利用 l0(x0)=1 确定其中的系数λ,得
(x-x1)(x-x2)
l0(x)= ------------------ ,
(x0-x1)(x0-x2)

类似的可以得出 l1(x) , l2(x) :
(x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1)
l1(x)=----------------- , l2(x)=------------------ .
(x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1)
于是(x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1)
P2(x)=-------