不定积分的例题分析及解法.doc

这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式,换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法,要求熟练掌握凑微分法和设中间变量,而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换,分部积分法是通过“部分地”凑微分将转化成,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法,例如为有理函数时,通过多项式除法分解成最简分式来积分,为无理函数时,常可用换元积分法。
应该指出的是:积分运算比起微分运算来,不仅技巧性更强,而且业已证明,有许多初等函数是“积不出来”的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如
;;;(其中)等。
这一方面体现了积分运算的困难,另一方面也推动了微积分本身的发展,在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析
(一)关于原函数与不定积分概念的几点说明
(1)原函数与不定积分是两个不同的概念,它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数,若存在函数,使得该区间上每一点处都有,则称是在该区间上的原函数,而表达式称为的不定积分。
(2)的原函数若存在,则原函数有无限多个,但任意两个原函数之间相差某个常数,因此求的不定积分时,只需求出的一个原函数,再加上一个任意常数即可,即。
(3)原函数与不定积分是个体与全体的关系,只是的某个原函数,而是的全部原函数,因此一个原函数只有加上任意常数后,即才能成为的不定积分,例如都是的原函数,但都不是的不定积分,只有才是的不定积分(其中是任意常数)。
(4)的不定积分中隐含着积分常数,因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意常数。
(5)原函数存在的条件:如果函数是某区间上连续,则在此区间上的原函数一定存在,由于初等函数在其定义域区间上都是连续的,所以初等函数在其定义区间上都有原函数,值得注意的是,有些初等函数的原函数很难求出来,甚至不能表为初等函数,例如下列不定积分
都不能“积”出来,但它们的原函数还是存在的。
(二)换元积分法的几点说明
换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元,使之化为适合基本积分公式表中的某一形式,再求不定积分的方法。
(1)第一换元积分法(凑微分法):令
若已知,则有
其中是可微函数,是任意常数。
应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形(凑微分形式)。
(1)、
具体应用为
=
(2)

、、均为常数,且。例如:
(3)为常数,
(4)且;
(5)
(6)
(7)
(8)
在具体问题中,凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用,例如求
时,应将凑成;求
时,应将凑成;而求时,就不能照搬上述两种凑法,应将凑成,即。
(2)第二换元法积分法:令,常用于被积函数含或等形式。
常见的元理函数积分所采用的换元式如表5-1所示:
表5-1
代换名称
被积函数含有
换元式
三
角
代
换
无
理
代
换
即
即
为的最小公倍数
(3)同一个不定积分,往往可用多种换元方法求解,这时所得结果在形式上可能不一致,但实质上仅相差一常数,这可能过对积分结果进行求导运算来验证。
(三)关于积分形式不变性
在讲第一换元积分法时,讲过这样一个定理:
如果,那么有,其中是的可微函数。这个定理说明:
(1)积分变量无论是自变量,还是中国变量,积分公式的形式不变,这一特性叫做积分形式不变性。
(2)根据这个定理,基本积分表中的既可以看作是自变量,也可以看作是函数(可微函数),因此基本积分表中的公式应用范围就扩大了,例如基本积分公式
现在就可以看作是
其中括号内可填充任意一个可微函数,只要三个括号填充的内容保持一致即可,这也正是不定积分的凑微分法的由来,即如果被积函数能够写成的形式,且已知,则有


同学们在应用积分不变性时,一定要注意三个括号内的内容必须是一致的,否则将出现错误。
(四)分部积分法
设是可微函数,且或有原函数,则有分部积分公式:
或
当被积函数是两个函数的乘积形式时,如果用以前的方法都不易计算,则可考虑用分部积分法求解,用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成或的形式,这一步类似于凑微分,然后应用分部积分公式,或,再计算,即得到积分结果。显然,用分部积分法计算不定积分时,关键是如何恰当地选择谁做和的原则是:①根据容易求出;②要比原积分容易计算,实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其和的选择规律,一归纳如表5-2。
表5-2
分类
不定积分类型
和的选择
I
II
III
或
或
说明(1)表5-2中,表示次多项式。
(2)表5-2中的等函数,不只局限于这些函数本身,而是指它们代表的函数类型,例,表示对所有正弦函数均适