不定积分的例题分析及解法.doc

1 不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式, 换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法, 要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(xu??, 而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换,分部积分法是通过“部分地”凑微分将?? ud 转化成? du ?,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法,例如)(xf 为有理函数时,通过多项式除法分解成最简分式来积分, )(xf 为无理函数时,常可用换元积分法。应该指出的是: 积分运算比起微分运算来, 不仅技巧性更强, 而且业已证明, 有许多初等函数是“积不出来”的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如 dxx x? sin ; dxe x?? 2;dxx? ln 1 ;??xk dx 22 sin 1 (其中 10??k )等。这一方面体现了积分运算的困难, 另一方面也推动了微积分本身的发展, 在第 7 章我们将看到这类积分的无限形式的表示。一、疑难分析(一)关于原函数与不定积分概念的几点说明(1 )原函数与不定积分是两个不同的概念,它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数)(xf ,若存在函数)(xF ,使得该区间上每一点 x 处都有)()(xfxF??,则称)(xF 是)(xf 在该区间上的原函数,xF()(?为任意常数) 称为)(xf 的不定积分。(2))(xf 的原函数若存在, 则原函数有无限多个, 但任意两个原函数之间相差某个常数, 因此求)(xf 的不定积分? dxxf)( 时,只需求出)(xf 的一个原函数)(xF ,再加上一个任意常数 C 即可,即???CxF dxxf)()( 。(3 )原函数)(xF 与不定积分? dxxf)( 是个体与全体的关系, )(xF 只是)(xf 的某个原函数,而? dxxf)( 是)(xf 的全部原函数, 因此一个原函数只有加上任意常数 C 后,即CxF?)( 才能成为)(xf 的不定积分, 例如3,2 1,1 222???xxx 都是 x2 的原函数, 但都不是 x2 的不定积分, 只有Cx? 2 才是 x2 的不定积分(其中 C 是任意常数)。(4))(xf 的不定积分? dxxf)( 中隐含着积分常数 C ,因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意常数 C 。(5 )原函数存在的条件:如果函数)(xf 是某区间上连续,则在此区间上)(xf 的原函数一定存在, 2 由于初等函数在其定义域区间上都是连续的,所以初等函数在其定义区间上都有原函数,值得注意的是, 有些初等函数的原函数很难求出来,甚至不能表为初等函数,例如下列不定积分 dxex dx dxx x x????, ln , sin 都不能“积”出来,但它们的原函数还是存在的。(二)换元积分法的几点说明换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元, 使之化为适合基本积分公式表中的某一形式, 再求不定积分的方法。(1 )第一换元积分法(凑微分法) :令)(xuu?若已知???CxF dxxf)()( ,则有???? CxF dxxxf????)()()(???其中)(x?是可微函数, C 是任意常数。应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形(凑微分形式)。(1)ab axda bxd dx )(( 1)(????、)0?,ab 为常数具体应用为??????)()( 1)(b axdb axa dxb ax m m=??????????????Cbaxa Cm baxa m ln 1 1 )(1 1)1( )1(????m m (2))(1 1 1bxda dxx aa????)()1( 1 1baxdaa a????a( 、b 、a 均为常数,且)1,0???aa 。例如: xd dxx xxd dxx dx xdx2 1 ),(3 2,2 1 2???(3)) ln( 1 ln 1bxada xd dxx ??? ba,( 为常数, )0?a (4),0( ln )(,???aa addxade dxe xxxx 且)1?a ; (5) ); (sin cos ), (cos sinxd xdx xd xdx ??? 3 (6)) cot ( csc ), (tan sec 22xd xdx xd xdx ???(7)) (arctan 1 1 2xddxx ??(8)) (arcsin 1 1 2xddxx ??在具体问题中,凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用,例如求?? dxx xf 21 1) (arctan 时,应将 dxx dx 21?凑成xd arctan ;求 dxx x arc f?? 21 1) cot ( 时, 应将 dxx 21