分部积分方法及例题.pdf

第4章第三节不定积分的分布积分法一、分部积分公式二、典型例题x令x=t引例∫edx2∫tetdt(换元法无法解决)一、分部积分公式由导数公式(uv)′=u′v+uv′积分得uv=u′vdx+uv′dx∫∫公式的作用:∫uv′dx=uv−∫u′vdx改变被积函数∫udv=uv−∫vdu——分部积分公式二、典型例题例x1(1)I1=∫xedx=∫xdexudvx简化=xe−∫exdxuvvdu=xex−ex+C问:能否取u=ex?=ex⋅2xdx∫2∫udv1x21=edx=(x2ex−x2dex)2∫2∫12x2x=(xe−xedx)更不易积分2∫推广2x2x2xx2(2)I2=∫xedx=−∫xde=−xe+∫edxdvdvvdu2xx=−xe+2∫exdx简化I1=−x2ex+2(xex−ex)+CnxnI=xedx令u=xnxn−1xn∫xe−n∫xedxdvnxIn=xe−nIn−1例2(1)I1=∫xcosxdx?1分析取uu==cos?x,xdx=dx2=dv2x2x2xcosxdx=cosx+sinxdx更不易积分∫2∫2显然,u选择不当,(1)I1=∫xcosxdx=∫xdsinx简化udvdv=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+Cuvvdu()222I2=∫xsinxdx=−∫xdcosxdvdv2=−xcosx+∫cosxdx2vdu简化2=−xcosx+2∫xcosxdxI1=−x2cosx+2(xsinx+cosx)+Cn推广∫xnsinxdx,令u=x注1°设∫f(x)dx,其中f(x)=ϕ(x)ψ(x).选u的一般原则:(1)dv=ψ(x)dx∫ψ(x)dx易积分,v易求;(2)∫vdu比∫:x2(1)I1=xlnxdx=∫lnxd∫u2dvx2x2=lnx−∫dlnx22vdu简化11=x2lnx−∫xdx2211=x2lnx−x2+C24x2(2)I2=∫xarctanxdx=∫arctanxd()2udv2简化121x=xarctanx−∫dx221+x2111=x2arctanx−∫(1−)dx221+x211=x2arctanx−(x−arctanx)+C22