复变函数积分方法总结.docx

蚂聿复变函数积分方法总结薄[键入文档副标题]芄33fdt螀[选取日期]蚆莂蒁芆蚇螅复变函数积分方法总结羀数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数:羆z=x+iyi²=-1,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。argz=θ₁θ₁称为主值-π<θ₁≤π,Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ,y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ;利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。:袃定义:设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C任意分成n个弧段,设分点为A=z0,z1,…,zk-1,zk,…,zn=B,在每个弧段zk-1zk(k=1,2…n)上任取一点xk并作和式Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)=k-1nf(xk)∆zk记∆zk=zk-zk-1,弧段zk-1zk的长度δ=max1≤k≤n{∆Sk}(k=1,2…,n),当δ→0时,不论对c的分发即xk的取法如何,Sn有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为:莀cf(z)dz=limδ0k-1nf(xk)∆zk螇设C负方向(即B到A的积分记作)c-f(z),f(z)的积分记作cf(z)dz(C圆周正方向为逆时针方向)薆例题:计算积分1)cdz2)c2zdz,其中C表示a到b的任一曲线。羁(1)解:当C为闭合曲线时,cdz=∵f(z)=1Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)=b-a蒇∴limn0Sn=b-a,即1)cdz=b-(2)当C为闭曲线时,cdz=(z)=2z;沿C连续,则积分czdz存在,设xk=zk-1,则莄∑1=k-1nZ(k-1)(zk-zk-1)芈有可设xk=zk,则芇∑2=k-1nZ(k-1)(zk-zk-1)莅因为Sn的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以蒂Sn=(∑1+∑2)=∑k-1nzk(zk2-zk-12)=b2-a2袂∴c2zdz=b2-:参数法:膂f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy带入cf(z)dz得:薀cf(z)dz=cudx-vdy+icvdx+udy肇再设z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)蒄cf(z)dz=αβf(z(t))z(t)dt罿参数方程书写:z=z0+(z1-z0)t(0≤t≤1);z=z0+reiθ,(0≤θ≤2π)虿例题1:03+iz2dz积分路线是原点到3+i的直线段蒆解:参数方程z=(3+i)t膄03+iz2dz=01[(3+i)t]2[(3+i)t]'dt肁=(3+i)301t2dt螇=6+263i羆例题2:沿曲线y=x2计算01+i(x2+iy)dz羅解:参数方程x=ty=t2或z=t+it2(0≤t≤1)膂01+ix2+iydz=01(t2+it2)(1+2it)dt腿=(1+i)[01t2dtdt+2i01t3dt]莅=-16+:衿z=z0+reiθ,(0≤θ≤2π)芈由参数法可得:螅cdz(z-z0)n+1=02πireiθei(n+1)θrn+1dθ=irn01+ie-inθdθ莆cdz(z-z0)n+1=2πin=00n≠0羁例题1:z=1dzz-2例题2:z=1dzz-12蚀解:=0解=:-古萨特定理:若f(z)dz在单连通区域B内解析,则对B内的任意一条封闭曲线有:肂cf(z)dz=:当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关,仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。:设函数f(z)在单连通区域D内解析,C与C1是D内两条正向简单闭曲线,C1在C的内部,且以复合闭路Γ=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有:蚂Γf(z)dz=cf(z)dz+c1f(z)dz=0衿即cf(z)dz=c1f(z)dz袇推论:cf(z)dz=k=1nckf(z)dz莇例题:c2z-1z2-zdzC为包含0和1的正向简单曲线。莃解:被积函数奇点z=0和z=,互不包含的正向曲线c1和c2。袁c2z-1z2-zdz=c12z-1z(1-z)dz+c22z-1z(1-z)dz艿=c11z-1+1zdz+c21z-1+1zdz螆=c11z-1dz+c11zdz+c21z-1dz+c21zdz膃=0+2πi+2πi+0羂=(牛顿-莱布尼茨公式):,解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点