不等式恒成立有解问题.doc

、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,随着中学数学引进导数,它为我们更广泛、更深入地研究函数、,涉及不等式恒成立与有解的问题,有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目,,特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题,将新增内容与传统知识有机融合,用初等方法难以处理,而利用导数来解,思路明确,过程简捷流畅,淡化繁难的技巧,它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法,而且还考查极限、,体现能力立意的原则,带有时代特征,,,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一团.(1)不等式f(x)<(x)的上界小于或等于k;(2)不等式f(x)<(x)的下界小于k;(3)不等式f(x)>(x)的下界大于或等于k;(4)不等式f(x)>(x)的上界大于k;解决不等式恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数,利用函数的单调性、最值(或上、下界)、图象求解;基本方法包括:分类讨论,数形结合,参数分离,(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数.(1)对任意x[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;(2)存在x[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;(3)对任意x1x2[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k,问题转化为x[-3,3]时,h(x)≥0恒成立,故h(x)≥′(x)=6x2-6x-12=0,得x=-(-1)=7+k,h(2)=-20+k,h(-3)=k-45,h(3)=k-9,故h(x)=-45+k,由k-45≥0,得k≥45.(2)据题意:存在x[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即为:h(x)=g(x)-f(x)≥0在x[-3,3]有解,故h(x)≥0,由(1)知h(x)=k+7,于是得k≥-7.(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意x1x2[-3,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,x1,x2的取值在[-3,3]上具有任意性,因而要使原不等式恒成立的充要条件是:,由g′(x)=6x2+10x+4=0,得x=-或-1,易得,又f(x)=8(x+1)2-8-k,.故令120-k≤-21,得k≥,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,(06年全国)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有x≥0,都有f(x)≥ax成立,(x)=f(x)-ax=(x