矩阵论课件第1章线性空间与线性变换.ppt

第1章:线性空间与线性变换内容:线性空间的一般概念重点:空间结构和其中的数量关系线性变换重点:其中的矩阵处理方法特点:研究代数结构——具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身,而是对象之间的结构关系。研究的关注点:对象之间数量关系的矩阵处理。学****特点:具有抽象性和一般性。、线性空间的概念几何空间和n维向量空间的回顾推广思想:抽象出线性运算的本质,在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。()要点:集合V与数域F向量的加法和数乘向量运算运算的性质刻画常见的线性空间Fn={X=(x1,x2,…,xn)T:xF}运算:向量加法和数乘向量Fmn={A=[aij]mn:aijF};运算:矩阵的加法和数乘矩阵Rmn;Cmn。Pn[x]={p(x)=:aiR}运算:多项式的加法和数乘C[a,b]={f(x):f(x)在[a,b]上连续}运算:函数的加法和数乘eg5:V=R+,F=R,ab=ab,a=aF=R或C线性空间的一般性的观点:线性空间的一般形式:V(F),元素被统称为向量:,,,线性空间的简单性质(共性)::V(F)具有性质:(1)V(F)中的零元素是惟一的。(2)V(F)中任何元素的负元素是惟一的。(3)数零和零元素的性质:0=0,k0=0,k=0=0或k=0(4)=(1)数0向量0二、线性空间的基和维数向量的线性相关与线性无关:定义形式和向量空间Rn中的定义一样。有关性质与定理和Rn中的结果一样。例题1证明C[0,1]空间中的向量组{ex,e2x,e3x…,enx},x[0,1]线性无关。二、线性空间的基和维数基与维数的概念:,:Fn,自然基{e1,e2,…,en},dimFn=nRmn,自然基{Eij},dimRmn=mn。Pn[x],自然基{1,x,x2,x3…,xn-1},dimPn[x]=nC[a,b],{1,x,x2,x3…xn-1…}C[a,b],dimC[a,b]=约定:Vn(F)表示数域F上的n维线性空间。只研究有限维线性空间。三、()设{1,2,…,n}是空间的一组基,,=,则x1,x2,…,xn是在基{i}下的坐标。例1:求R22中向量在基{Eij}下的坐标。要点:坐标与基有关坐标的表达形式例2设空间P4[x]的两组基为:{1,x,x2,x3}和{1,(x-1)1,(x-1)2,(x-1)3}求f(x)=2+3x+4x2+x3在这两组基下的坐标。归纳:任何线性空间Vn[F]在任意一组基下的坐标属于Fn。每一个常用的线性空间都有一组“自然基”,在这组基下,向量的坐标容易求得。求坐标方法的各异性。2、线性空间Vn(F)与Fn的同构坐标关系Vn(F)Fn基{1,2,。。。n}由此建立一个一一对应关系Vn(F),XFn,()=X(1+2)=(1)+(2)(k)=k()在关系下,线性空间Vn(F)和Fn同构。:Vn(F)中向量{1,2,…n}线性相关它们的坐标{X1,X2,…,Xn}在Fn中线性相关。同构保持线性关系不变。应用:借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。