高等数学求极限的14种方法总结（附例题详解）及等价替换公式总结.doc

高等数学求极限的14种方法总结（附例题详解）及等价替换公式总结.doc:..高等数学求极限的14种方法总结(附例题详解)及等价替换公式总结一、 :设]im=a,(i)若A>0,则有6〉0,使得当Ov|x—无。1<5时,/(x)>0;(ii)若有6>0,使得当0<|x-x0|<^lit,/(x)>0,则AhO。、数列极限,其中函数极限又分为XToo时函数的极限和XTX。的极限。要特别注意判定极限是否存在在:(i)数列{兀卅攵敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论,即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”⑴)lim=lim"无T8 XT—8 xt+oo(iiDlimdolim=lim=A(iv)单调有界准则(V)两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理)(vi)柯西收敛准则(不需要掌握)。极限lim/W存在的充分必要条件是:Xf0V£〉O,m》〉O,使得当兀]、兀2丘0(兀0)时,恒有\f^)-f(x2)\<:。只能在乘除时候使用。例题略。••(L,hospital)法则(大题目有时候会有喑示要你使用这个方法)它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近,而不是N趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,数列极限的n当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f(X)、g(x),没告诉是否对导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况:0 OO(i)“工”“一”时候直接用0 OO(ii)“0・OO”“00-00”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项2,Jn\就能变成(i)中的形式了。即/(x)g(x)=或/(x)g(x)=*¥);m-)g)二g(x)/⑴g(x) f(x) fMg(x)A 八 cfxa(x} j<(x)lnf(x)Gii) “t”“oo°”对于幕指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即=e ,这样就能把幕上的函数移下来了,变成“0・oo”型未定式。(含有『的时候,含有正余弦的加减的时候)护=1+兀+尤2!xn+•••+一n!+(斤+1)!兀r3 r 丫2加+1 .Y?y" IT?'" pr\cf)y2-釜+》…話+("总徐严—…+(—1)〃1rn—+(-irn(斤+1)(1+禺)“和(1+X)“二1+似+况(况_D_?+.・・+c:y+Cf1(1+禺)“一心xn+,*<“、/以上公式对题1=1简化有很好帮助4•两多项式相除:设an,饥均不为零,P(x)=anxn+an_{xn~'+•••+a)x+a0,Q(x)=bmxm4-bm_{xm~x+•••+ +Z?o(i)vP(x)!吧丽”—,(m=n)bn0,("V"7)8,(刃〉m)(ii)若2(xo)^O,(2)求lim"T811产+(”+1)2+…+1(W解:由0<A+亠+•••+丄<4+丄+•••+-」,以及lim°Tim丄=°可知,原式二°ZT(”+1)~ (2沙/r/T nn HT8 界T8兀H =1</ +/H HnV«2+lyln+21+21n2+nyjn1+nyin2+nn2+nlim1=lim/f=lim-f==1得,原式****T8 >8yn"+n”T8h+1V/(等比数列的公比q绝对值要小于1)。例如:求limb+2兀+3/+・・・+处心)(|x|<i)o提示:先利用错位相减得方法对括号内的式了求和。(可以使用待定系数法来拆分化简数列)。例如:1,曲(佇去+・“+為)飞吏卜出冷+…+%「%"+l))T曲卜%+l))£+i极限相同求极限。例如:(1) 已知①=2,a沖=2+丄,且已知lim①存在,求该极限值。a” “T8解:设lim。”二A,(显然A>0)则人=2+丄’WA~—2A—1=0,解得结果并舍去负值得A=l+V2”T8 A(2) 利用单调有界的性质。利用这种方法吋•加要先证明单调性和有界性。例如=j2+g,求lim*”MT8解:(i)显然西<x2<2(ii)假设耳-<xkv2,贝iJJ2+仏vJ2+忑<V2+2,即母<^+1<2。所以,{兀}是单调递增数列,且有上界,收敛。设lim=A,(显然人>0)则人二J2+A,即A2-A-2=0.>]im£=2“。(i) hm沁=1常用语含三角函数的“9”型未定式XTOX °(ii) lim(l+x£=—在“广”型未定式中常用A~>01