高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答.doc

高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答.doc:..:说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上lim(3x-l)=5面的极限严格定义证明,例如:;“T2(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。例7:已知(sin"=8$X,・刀、・开解:原式=($mx),|=cos-=0^*x 4 /⑴,limg(x)都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(])lim[/(x)±g(x)]=A±B(2)lim/(x)-^(x)=AB⑶咲优H,(此时需昨0成立)说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。例6:limJTT9J/+1-3x 3x+sinx解:原式女■+丄J9x+smx-3hm―-—9x-,再利用极限运算法则求极限v丿3兀+1—2lim 例x-1v (a/3x+1)2-22 v 3x-3 3lim / =lim / =—解:原式=^>(x-1)(V3xT1+2) ―(%-1)(73771+2) 4注:本题也可以用洛比达法则。lim4n(J〃+2_Jn_\)例2〃T832rVh[(h+2)-(h-1)]f侖+㊁+侖-I解:原式二上下同除以3" (一厅)+1=lim /I—“2、・,(了)+1解:原式 ..sinxlim lim(l+x)x=e(2)zlim(l+丄)”XT8X说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,例如:sin3xt =1limgo3xlim(l-2x)"2v=extOlim(l+3p=eX—8 JC利用两个重要极限求极限lim例5go1一cosX3x22sin2— 2sin2— 〔lim 鸟=lim =-53兀 —2.(兰)26解:原式二 2注:本题也可以用洛比达法则。2lim(l-3sinx)x例6心()解:1 -6sinx原式肿isin沪-F1 -6sinx=lim[(l-3sinx)_3sinx]xxtOr八_2、nlim(——)例7心8n+1解:原式=。2 n+\一3” $ "+1一3"lim(l+二耐=lim[(l+二-)巧=e~3“Too n_|_1 "Too n-|(即极限是0)。定理3当xt°时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:X〜sinx〜tan兀〜arcsin无〜arctanx〜ln(l+无)〜丘”-10说明:当上面每个函数中的自变量X换成£(力吋(g(x)TO),仍有上面的等价关系成立,例如:当XT0时,幺力_]〜3无;ln(l_F)〜_兀2。定理4如果函数/(兀),£(兀)丿1(兀),<?1(兀)都是兀时的无穷小,且于(X)〜lim止 lim/W久⑴,g(x)〜幻⑴,则当WgQ)存在时,fog(兀)也存在且等于/(X)XT勺g|(X),艮卩XTX。g(X)=XfY。g|(X)利用等价无穷小代换(定理4)求极限lim—I. A-—>0例9xln(l+3x)arctan(x2)解:lim原式=gox-3xaxT0时,ln(l+3x)〜3兀,arctan(x2)〜x2lim—例IO"®x-sinx严气广g_]) esinx(x-sinx).lim =lim =1解:原式二gox-sinxxtox-sinx注:下面的解法是错误的:r(eA-l)-(esinv-l)rx-sin^〔lim =lim =1原式;二才to x-sinx 才tox-sinx o正如下面例题解法错误一样:limA->0tanx-sinx x-x门 =lim———=0x3x->0兀-tan(xsin—)lim 例11"Tosinx•••当兀T0时,x2sin—是无穷小,・•・tan(x2sin丄)与/sin丄等价解: 兀 无 兀x2sin— ]lim =limxsin—=0所以,原式二心。x“TOX。(最后一步用到定理2)五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。Hm(Jl+xsiz—l)|imsinsin(x-l)-1 •洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数/(Q和&(兀)满足: