概率论与数理统计课后答案第4章.doc

---------------------------------作者:_____________-----------------------------日期:::讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数?解:(1)(2)不是;(3)是。:问是分布函数吗?解:不是。,且为连续函数,则在上一致收敛于。证:对任意的,取充分大,使有对上述取定的,因为在上一致连续,故可取它的分点:,使有,再令,则有(1)这时存在,使得当时有(2)成立,对任意的,必存在某个,使得,由(2)知当时有(3)(4)由(1),(3),(4)可得,,即有成立,结论得证。,证明这时必有。证:对任意的有,故即对任意的有成立,于是有从而成立,结论得证。,分别依概率收敛于随机变量与,证明:(1);(2)。证:(1)因为故即成立。(2)先证明这时必有。对任给的取足够大,使有成立,对取定的,存在,当时有成立这时有从而有由的任意性知,同理可证,由前述(1)有故,结论成立。,是一个常数,且,证明。证:不妨设对任意的,当时有,因而。于是有。结论成立。:证:充分性,令,,则,故是的单调上升函数,因而,于是有对任意的成立,充分性得证。必要性,对任给的,令,因为,故存在充分大的使得当时有,于是有,由的任意性知,结论为真。,又数列,,证明也按分布收敛于。证:先证明按分布收敛于。时为显然,不妨设(时的修改为显然),若,,,的分布函数分别记作,,与,则=,当是的连续点时,是的连续点,于是有成立,结论为真。,(1)知,,结论得证。,随机变量序列依概率收敛于常数,证明按分布收敛于。证:记的分布函数分别为,则的分布函数为,设是的连续点,则对任给的,存在,使当时有(1)现任取,使得都是的连续点,这时存在,当时有(2)(3)对取定的,存在,当时有(4)于是当时,由(1),(2),(4)式有又因为于是由(1),(3),(4)式有(6)由(5),(6)两式可得由的任意性即知按分布收敛于,结论得证。,随机变量序列依概率收敛于,:记的分布函数分别为,对任给的,取足够大,使是的连续点且因为,故存在,当时有令,因为,故存在,当时有而其中,当时有因而,由的任意性知,结论为真。,其密度函数为证明。证:对任意的,有故。,其密度函数为其中为常数,令,证明。证:对任意的,为显然,这时有对任意的,有故成立,结论得证。,其密度函数为令,证明。证:设的分布函数为,有这时有对任意的,有故成立,结论得证。,都服从上的均匀分布,若,证明。证:这时也是独立同分布随机变量序列,且由辛钦大数定律知服从大数定理,即有,令,则是直线上的连续函数,。,每个随机变量的期望为,且方差存在,证明。证:已知,记,令,则对任给的,由契贝晓夫不等式有故,结论得证。,且存在,数学期望为零,证明。证:这时仍独立同分布,且,由辛钦大数定律知结论成立。,又随机变量序列依概率收敛于常数,则按分布收敛于。证:,,而按分布收敛于(),,结论成立。,证明的分布函数弱收敛于分布。证:这时也为独立同分布随机变量序列,且,由辛钦大数定律知,又服从分布,当然弱收敛于分布,,结论得证。,当时有,证明服从大数定律(马尔柯夫大数定律)证:由契贝晓夫不等式即得。,事件出现的概率为,令