概率论与数理统计课后答案第4章.doc

1 第4章大数定律与中心极限定理 设)(xD 为退化分布: ??????00 01)(x xxD 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数? ?,2,1 },0 1({)3( )}; 1({)2( )}; ({)1(????nn xDn xDnxD其中解:(1)(2)不是;(3)是。 设分布函数)(xF n如下定义: ?????????????nx nxnn nx nxxF n1 2 0)( 问)( lim )(xFxF nn???是分布函数吗? 解:不是。 设分布函数列)}({xF n 弱收敛于分布函数)(xF ,且)(xF 为连续函数,则)}({xF n在),(???上一致收敛于)(xF 。证:对任意的 0??,取 M 充分大,使有 MxxFMxxF????????,)(;,)(1??对上述取定的 M ,因为)(xF 在],[MM?上一致连续,故可取它的 k 分点: MxxxMx kk????????121?, 使有 kixFxF ii?????1,)()( 1?, 再令??????10, kxx ,则有 10,)()( 1??????kixFxF ii?(1) 这时存在 N ,使得当 Nn?时有10,|)()(|?????kixFxF iin?(2) 成立,对任意的),(????x ,必存在某个)0(kii??,使得),( 1?? iixxx ,由(2) 知当 Nn?时有 2 ??????)()()( 11iinnxFxFxF (3)????)()()( iinnxFxFxF (4) 由( 1),(3),(4)可得???2)()()()()()( 11??????????iiinxFxFxFxFxFxF ,???2)()()()()()( 1??????????iiinxFxFxFxFxFxF , 即有?2)()(??xFxF n成立,结论得证。 设随机变量序列?? n?同时依概率收敛于随机变量?与?,证明这时必有 1)(????P 。证:对任意的 0??有???????????????????2 ?????? n,故?? 0,022 0???????????????????????nPPP nn?????????即对任意的 0??有?? 0??????P 成立,于是有?? 0 11 11??????????????????????????????? kkk Pk PP???????从而 1)(????P 成立,结论得证。 设随机变量序列?? n?,?? n?分别依概率收敛于随机变量?与?,证明: (1)????????? Pnn;(2)????????? Pnn。证:(1)因为??????????????????????????????22 ??????????? nnnn故??????????????????????????nPPP nnnn,022 )(0 ???????????即????????? Pnn成立。(2 )先证明这时必有 22????? Pn 。对任给的 0,0????取M 足够大 3 ???????1M ?,使有???????????2 1MP 成立,对取定的 M ,存在 N ,当 Nn?时有????????????????????M PP nn1 成立这时有???? M PMP nn???????????2?????? 12???????????? nnM P )}1| (|)|2|| {(|???????????? n nM P????2)1| (|)1|2 (|??????? nPMP 从而有????????????????????????????3)| (|)| (| )}| (|)| || {(| )}| (|)| || {(| )| || (|)| (| 22???????????????????????????MPM P M P M P PP nn nnn nnn nnn由??, 的任意性知 22?? Pn?,同理可证 22?? Pn?,由前述( 1)有????????????2)()(2 22222????????? Pnnnnnn故????????? Pnn,结论成立。 设随机变量序列 a Pn????,0?a 是一个常数,且0? n?,证明 a Pn11????。证: 不妨设 0?a 对任意的 a???0 , 当????a n 时有???aaaaaa nn????? 22)( , 因而????????????????????????????aa aa a nn n2。于是有?????????????a P n110????????????????????????????????????????????????????????????