“等时圆”模型的基本规律及应用.doc

1 “等时圆”模型的基本规律及应用(此文章已发表于《考试》杂志) 前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”, 居然有同志认为是“等势圆”吧。而在物理教学中, 借助各种模型, 把抽象问题具体化, 把复杂问题简单化, 能使得物理问题便于理解和接受。基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下: 一、何谓“等时圆”如图 1 所示, ad、 bd、 cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆, a、b、c、d 位于同一圆周上,a 点为圆周的最高点,d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环( 图中未画出), 三个滑环分别从 a、b、c 处释放(初速为 0) ,用 t 1、t 2、t 3 依次表示各滑环到达 d 所用的时间, 则( ) 1 <t 2 <t 3 1 >t 2 >t 3 3 >t 1 >t 2 1 =t 2 =t 3 解析: 选任一杆上的环为研究对象, 受力分析并建立坐标如图所示, 设圆半径为 R ,由牛顿第二定律得, ma mg ?? cos ①再由几何关系,细杆长度? cos 2RL?②设下滑时间为 t ,则 22 1atL?③由以上三式得, g Rt2?可见下滑时间与细杆倾角无关,所以 D 正确。由此题我们可以得出一个结论。结论: 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑, 到达圆周最低点的时间相等。推论: 若将图 1 倒置成图 2 的形式, 同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用,我们看下面的例子: 二、“等时圆”的应用 1、可直接观察出的“等时圆”例1: 如图 3, 通过空间任一点 A 可作无限多个斜面, 若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下,那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是( ) A. 球面 B. 抛物面 C. 水平面 D. 无法确定解析: 由“等时圆”可知,同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上,所以 A 正确。例2: 如图 4, 位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于 M点, 与竖直墙相切于点 A ,竖直墙上另一点 B与M 的连线和水平面的夹角为 60 0,C 是圆环轨道的圆心, D 是圆环上与 M 靠得很近的一点( DM 远小于 CM )。已知在同一时刻:a、b 两球分别由 A、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到 M点;c 球由 C 点自由下落到 M点;d 球从 D 点静止出发沿圆环运动到 M 点。则:( ) A、a 球最先到达 M点B、b 球最先到达 M点图2 图1 x y mg θ图3 A 2 C、c 球最先到达 M点D、d 球最先到达 M点解析: 设圆轨道半径为 R,据“等时圆”理论,t a=g R4 =2g R , t b>t a;c 做自由落体运动 t c=g R2 ;而d 球滚下是一个单摆模型, 摆长为 R,t d=4 T =2 ?g R ,所以 C 正确。 2 、运用等效、类比自建“等时圆”例3: 如图 5 所示,在同一竖直线上有 A、B 两点,相距为 h,B 点离地高度为 H ,现在要在地面上寻找一点 P, 使得从 A、B 两点分别向点 P 安放的光滑木板, 满足物体从静止开始分别由 A和B 沿木板下滑到 P 点的时间相等,求 O、P 两