傅立叶变换在图像处理中的应用.doc

傅立叶变换在图像处理中的应用
摘 要
傅立叶变换研究是应用数学的一个重要方向，一个多世纪以来，傅立叶变换作为数学工具被迅速的应用到图像和语音分析等众多领域。傅立叶变换（FT）作为数字图像处理技术的基础，通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化计算工作量，被誉为描述图像信息的第二种语言。
本文首先简述了傅立叶变换的原理及应用领域，分析了其变换的数学原理和方法。接着介绍了几个基本的滤波器的理论基础。然后讨论了傅立叶变换在图像处理中的作用，其中着重介绍了图像增强及其原理和方法，并详细描述了在实验中图像增强的实验步骤和如何运用MATLAB软件对图像进行图像增强的实验方法。
关键字： 图象处理 傅立叶变换 低通滤波器 高通滤波器 图像增强
一、引言
傅立叶变换是信号处理中最重要，应用最广泛的变换。从某种意义上来说,傅立叶变换就是函数的第二种描述语言。傅里叶变换理论及其物理解释两者的结合，对图像处理领域诸多问题的解决提供了有利的思路，它让我们从事物的另一侧面来考虑问题，这样在分析某一问题时就会从空域和频域两个角度来考虑问题并来回切换，可以在空域或频域中思考的问题，利用频域中特有的性质，可以使图像处理过程简单，有效，对于迂回解决图像处理中的难题非常有帮助，被广泛应用于数字图像处理中。
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。尤其在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。随着傅里叶变换在不同领域不同围的延伸以及涉及的围之广，其发展趋势也愈显“数字化”，更是与计算机技术密不可分。目前，在信号处理与通讯领域里，使用最活跃的当属在数学类科技应用软件中的MATLAB。其在数值计算方面首屈一指，而当前傅里叶变换在通信领域中的应用又是基于这一数学软件，称做快速傅里叶变换。并且除了数字信号处理之外，其出色的图形处理功能使其在数字图像处理技术上解决了傅里叶变换在这些应用领域的特定类型的问题，使傅里叶变换在通信中得以更好的应用与发展。
二、理论基础

定义：单变量连续函数的傅里叶变换定义为等式
其中。相反，给定，通过傅里叶逆变换可以获得，即
这两个等式组成了傅里叶变换对。这些等式扩展到两个变量，即
类似地，逆变换为：
对于离散函数来说：
相应的，逆变换为：
同样地，将离散傅里叶变换推广到两个变量，即
其中。
同样，二维离散傅里叶逆变换如下：
其中。
通常在进行傅里叶变换之前用乘以输入的图像，由于指数的性质，很容易得到：
这个等式说明，用乘以可将原点变换到频率坐标下的
，二维傅里叶变换设置的区域的中心。
如果是实函数，则它的傅里叶变换必然为对称的，即
其中“*”表示对复数的标准共轭操作。由此，它遵循
其中，傅里叶变换的频率谱为对称的。

我们将考虑三种滤波器：理想滤波器、巴特沃斯滤波器和高斯滤波器。巴特沃斯滤波器有一个参数，成