傅立叶变换在图像处理中的作用.doc

傅立叶变换在图像处理中的作用
摘要:本文首先简述了傅立叶变换的原理及应用领域,介绍了傅立叶变换在数字图象处理中的重要地位和应用,分析了其变换的数学原理和方法,特别着重的是二维傅立叶变换和FFT(快速傅立叶变换)的原理,然后介绍了Matlab软件,分析了Matlab的好处,及其在数字图像处理和傅立叶变换计算上的使用,编出程序实现了其变换功能,给出了应用于图象压缩和图像去噪的实例。
关键词: 图象处理傅立叶变换 Matlab
正文
傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。傅立叶变换是数字图像处理技术的基础,其通过在时空域和频率域来回切换图像,对图像的信息特征进行提取和分析,简化了计算工作量,被喻为描述图像信息的第二种语言,广泛应用于图像变换,图像编码与压缩,图像分割,图像重建等。因此,对涉及数字图像处理的工作者,深入研究和掌握傅立叶变换及其扩展形式的特性,是很有价值得。把傅立叶变换的理论通其物理解释相结合,将有助于解决大多数图像处理问题。傅里叶变换可分为连续傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换。
连续傅里叶变换
函数f(x)的傅里叶变换存在的条件是满足狄里赫莱条件,即:
1)具有有限个间断点;
2)具有有限个极值点;
3)绝对可积。
(1)一维连续傅里叶变换及反变换:
单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为:
其中,x称为时域变量,u为频率变量。
当给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
(2)二维连续傅里叶变换及反变换:
二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v) 定义为:
x,y为时域变量,u,v为频域变量。
当给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到f(x,y):
离散傅里叶变换
连续函数的傅里叶变换是连续波形分析的有力工具,但要把傅里叶变换应用到数字图像处理中,就必须要处理离散数据,而离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)的提出使得这种数学方法能够和计算机技术联系起来。
(1)一维离散傅里叶变换及反变换:
单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,…,M-1)的傅里叶变换F(u)定义为:

u=0,1,2,…,M-1
当给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
x=0,1,2,…,M-1
由欧拉公式有:


(2)二维离散傅里叶变换及反变换:
图像尺寸为MN的函数f(x,y)的DFT为:
其中u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1;u和v是频率变量,x和y是空间或图像变量。
当给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到f(x,y):
其中x=0,1,2,…,M-1, y=0,1,2,…,N-1;u和v是频率变量,x和y是空间或图像变量。
快速傅里叶变换
快速傅里叶变换(FFT)是计算离散傅里叶变换(DFT)的快速算法。离散傅里叶变换运算量巨大,计算时间长,即运算时间很长。而快速傅里叶变换的提出将傅里叶变换的复杂度由降到了,很大程度上减少了计算量。

令,,u=0,1,2,…,M-1
则,
傅立叶变换在图像处理中的重要作用:
1. 图像增强与图像去噪
绝大部分噪音都是图像的高频分量,通过低通