1988年考研数学试题答案及评分参考.pdf

郝海龙:考研数学复****大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数学(试卷一)一.(本题满分15分,每小题5分)(x3)n(1)求幂级数的收敛域.nn1n3(x3)n1(n1)3n1n11解:因limlimxx33,故xx31即06时,nn(x3)n3(n1)33n3n幂级数收敛.„„3分1当x0时,原级数成为交错级数(1)n,是收敛的.„„4分n1n1当x6时,原级数成为调和级数,是发散的.„„5分n1n所以,所求的收敛域为0,6.2(2)已知f(x)=ex,f()x=1-x,且(x)(x):由ex[(x)]1,得(xx)ln(1).„„3分由ln(1x)0,得11x即x0.„„5分所以(xx)ln(1),其定义域为(,0).(3)设S为曲面x2y2z21的外侧,计算曲面积分Ix3dydzy3dxdx:根据高斯公式,并利用球面坐标计算三重积分,有I3(x2y2z2)dv(其中是由S所围成的区域)„„2分213ddr22rsindr„„4分00012.„„5分51988年•第1页郝海龙:考研数学复****大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准二、填空题:(本题满分12分,每小题3分)1(1)若f(t)=limt(1)2tx,则ft()(2te1)2txx2,1x0(2)设f(x)是周期为2的周期函数,它在区间1,1上的定f(x)=x3,0x1,则f(x)的付立叶级2数在x=11(3)设f(x)是连续函数,且f(t)dtx,则f(7)=.012(4)设4*4矩阵A=(,2,3,4),B=(,2,3,4),其中,,,2,3,4均为4维列向量,且已知行列式A4,B1,则行列式AB=.、选择题(本题满分15分,每小题3分)1(1)若函数y=f(x)有f(x),则当x0时,该函x=x处的微分dy是(B)020(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设yf()x是方程y2y4y0的一个解,若fx()0,且f(x0)0,则函数fx()在点x0(A)(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某个邻域内单调增加(D)某个邻域内单调减少22222222(3)设有空间区域1:xyzR,z0;及2:xyzR,x0,y0,z0,则(C)(A)xdv4xdv(B)ydv4ydv1212(C)zdv4zdv(D)xyzdv4xyzdv1212n(4)若an(x1)在x=-1处收敛,则此级数在x=2处(B)n1(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组12,,,s(3sn)线性无关的充分必要条件是(D)(A)有一组不全为0的数k12,k,,ks,使k11k22kss0.(B)12,,,s中任意两个向量都线性无关.(C)12,,,s中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.(D)中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.12,,,s四.(本题满分6分)1988年•第2页郝海龙:考研数学复****大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准xy22uu设uyf()xg(),其中f,g具有二阶连续导数,求xy.yxx2xyuxyyy解:fgg.„„2分xyxxx22u1xyy„„分23fg.3xyyxx2uxxyy„„分22fg.5xyyyxx22uu所以xy0.„„6分x2xy五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程y3y2y2ex,且图形在点(0,1)处的切线与曲线yx2x1在该点的切线重合,求函数yy(x).xx2解:对应齐次方程的通解为YC12eCe.„„2分设原方程的特解为y*Axex,„„3分得A2.„„4分x22xx故原方程通解为y(x)C12eCe2xe.„„5分又已知有公共切线得yy|xx001,|1,„„121,即121,0.„„1221所以y(12x