如图所示.doc

如图所示,已知 O为正三角形 ABC 的高 AD 、 BE 、 CF 的交点, P是△ ABC 所在平面上的任一点,作 PL ⊥ AD 于L, PM ⊥ BE 于M, PN ⊥ CF : PL 、 PM 、 PN 中较大的一条线段等于其它两条线段的和. 考点: 四点共圆;等边三角形的性质. 专题: 证明题. 分析:因为题设中有正三角形和垂直的条件,由 PL ⊥ AD , PN ⊥ CF 知P、L、O、N、四点共圆,同理 P、 L、N、M四点共圆,因此 P、L、O、N、M五点共圆,再求出△ LMN 为正三角形即可得出结论. 解答: 解: ∵ PL ⊥ AD , PN ⊥ CF 知P、L、O、N、四点共圆. 同理 P、L、N、M四点共圆, ∴P、L、O、N、M五点共圆. ∵O既是正△ ABC 的垂心,又是△ ABC 的内心, ∴∠ AOE= ∠ COE=60 °, 再由共圆的条件得到∠ MNL= ∠ LON=60 °,∠ MLN= ∠ MON=60 °. ∴∠ MNL= ∠ MLN=60 °, ∴△ LNM 是等边三角形, ∵点P是劣弧 LM 上一点, ∴ PN=PL+PM . △ ABC 中, AD 是△ BAC 的角平分线,且有 1AD=1AB+1AC ,求∠ BAC :角平分线的定义; 平行线的性质; 等边三角形的性质. 分析:由 1AD=1AB+1AC 得 BE=AB , 所以∠ 2= ∠E ;作 BE ∥ AD 交 CA 延长线于 E ,则 AD ∥ BE ,又 AD 是△ BAC 的角平分线, 所以∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠E ,所以∠ BAC=180 °-∠ BAE=180 ° -60 ° =120 ° .解答:解:如图, 作 BE ∥ AD 交 CA 延长线于 E, 由 1AD=1AB+1ACAB+ACAB ? AC 得: AB+AC= AB ? ACAD ①由 BDDC=ABAC 得 BDDC=AB+ACAC ②由①②得 BCDC=AB ? ACAD ? AC=ABAD 而 BCDC=BEAD , 所以 BE=AB ,所以∠ 2= ∠E, 由 AD ∥ BE ,所以∠ 3= ∠4,∠ 1= ∠E, 因为 AD 平分∠ BAC ,所以∠ 1= ∠4, 所以∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠E, 所以△ ABE 为等边三角形, 所以∠ BAC=180 °-∠ BAE=180 ° -60 ° =120 °. 小知识:如图,我们称两臂长度相等(即 CA=CB ),若张角∠ ACB=x °,则底角∠ CAB= ∠ CBA= ( 90- x2)°. 请运用上述知识解决问题:如图, n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上,其张角度数变化如下: ∠A 1C 1A 2 =160 °,∠A 2C 2A 3 =80 °,∠A 3C 3A 4 =40 °,∠A 4C 4A 5 =20 °,…(1)①由题意可得∠A 1A 2C 1= 10 °; ②若A 2M平分∠A 3A 2C 1,则∠ MA 2C 2= 35 °; (2)∠A n+1A nC n= (90-802n-1) °(用含 n的代数式表示); (3)当 n≥3时,设∠A n-1A nC n-1的度数为 a,∠A