教案：变化率与导数、导数的计算.doc

变化率与导数、导数的计算
一、导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
二、基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
3.′＝(g(x)≠0)．
(理)
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即
y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[基础自测]
1．若f(x)＝xex，则f′(1)＝(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．e
C．2e D．e2
解析：选C　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
2．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选A　依题意得y′＝1＋ln x，y′x＝e＝1＋ln e＝2，所以－×2＝－1，a＝2.
3．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是(　　)
A．14 m/s2 B．4 m/s2
C．10 m/s2 D．－4 m/s2
解析：选A　由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
4．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′x＝1＝3×12－1＝2.
∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
5．函数y＝xcos x－sin x的导数为________．
解析：y′＝(xcos x)′－(sin x)′
＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x
＝cos x－xsin x－cos x
＝－xsin x.
答案：－xsin x
题型1
利用导数的定义求函数的导数
[例1]　用定义法求下列函数的导数．
(1)y＝x2；　(2)y＝.
[