函数的对称性.docx

函数的对称性82629
函数的对称性82629
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函 数 的 对 称 性
知识梳理
一、对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念
① 函数轴对称 ：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
② 中心对称： 如果一个函数的图像沿一个点旋转 180 度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）
①常数函数 ; ②一次函数 ; ③二次函数 ; ④反比例函数 ; ⑤指数函数 ; ⑥对数函数 ; ⑦幂函数 ; ⑧正弦函数 ;
⑨正弦型函数 y Asin( x ) 既是轴对称又是中心对称 ; ⑩余弦函数 ; ⑾正切函数 ; ⑿耐克函数 ;
⒁绝对值函数： 这里主要说的是 y
f (| x |) 和 y | f (x) |两类。前者显然是偶函数，
它会关于 y 轴对称 ; 后者是把 x 轴
下方的图像对称到
x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如
y | ln x |就没有对称性，而
| sin x | 却仍然是轴对称。
y
cx
d
(
c
0,
ad
)
x
c
⒂形如
ax
b
的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
d
( 由分母为零确定
) 和直线 y
a
( 由分子、分母中
x 的系数确定 ) ，对称中心是点
(
d
, a ) 。
c
c
c
二、抽象函数的对称性
【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数
之间的对称性 ，我们称其为互对称。】
1、函数 y f ( x) 图象本身的对称性（自对称问题）
（ 1）轴对称
① y f (x) 的图象关于直线 x a 对称 f (a x) f (a x) f ( x) f (2a x)
② f (a x) f (b x)y f ( x) 的图象关于直线 x
( a x) (b x)
a b 对称 .
2
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特别地，函数 y f ( x) 的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f (x) f ( x) .
函数的对称性82629
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（ 2）中心对称
① y f (x) 的图象关于点 ( a, b) 对称 f (a x) f (a x) 2b f (x) f (2a x) 2b
f ( x) f (2a x) 2b 。
② f (a
x)
f (b
x)
2c
y f (x) 的图象关于点
a
b
,