11-4幂级数.ppt

第四节幂级数第十一章一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算性质一、函数项级数的一般概念???1 0)( n nxu若收敛点(发散点) 的全体. 收敛(发散) 收敛点函数项级数:(发散点) x 0 :收敛域(发散域) U: 和函数: ),()( 1xuxS n n????),()( 1xuxS nk kn???(收敛域)Ux?部分和: 余项: )()()(xSxSxr nn??,)()( lim xSxS nn???.0)( lim ???xr nn ???1)( n nxu ???????)()()( 21xuxuxu n 区间 I上的函数确定下列函数项级数的收敛域,并求其和函数: 例1收敛域: ,),0(??.]0,( ?????02 1 n nx 发散域: 和函数: xx22 12 11???????? nx2 1 等比级数公比:x2 1 x n nx2 11 12 1 0?????)12 1(? x (1) 解(2),)0( 0 2??????xn xx n nn,)( lim ????xu nn??该级数发散, 故级数的收敛域: }.1,1{}1{????xxU ,该级数收敛; 时收敛当1?x,10时当??x 收敛域一般不一定为区间! 解:)0( 0?xx 的幂级数二、幂级数及其收敛性???? 0 0)( n nnxxa?????? 202010)()(xxaxxaa???0n nnxa???????? nnxaxaxaa 2210????? nnxxa)( 0 的幂级数: )( 0xx? 1. 定义例如, 等比级数为幂级数),1(1 1 0??????xx x n n.)1,1( 为区间收敛域?问题一般幂级数的收敛域是否为区间? ox 发散发散收敛收敛发散 2. 幂级数收敛域的结构???0n nnxa则,0)1( 0 0 收敛时, 若当????? n nnxaxx)( 0xx?绝对收敛. 定理 ( Abel 定理),)2( 0 0 发散时, 若当???? n nnxaxx???0n nnxa则)( 0xx?发散. 证(1) 设)0( 00 0????xxa n nn,0 lim 0??? nnnxa则收敛,Mxa nn? 0 故有 M > 0, 使 x O 当时, 0xx????00 n nx xM 收敛,???0n nnxa 故原幂级数绝对收敛. 也收敛,n nnn nnx xxaxa 0 0?? nnnx xxa 0 0?? nx xM 0? x 0收敛 x O (2) (反证法) 若有收敛点: 1x 01xx?收敛 x 10x 则由(1) 知, 也收敛, 矛盾!在则???0n nnxa)( 0xx????0n nnxa则, 0 0 发散时, 若当????? n nnxaxx 发散. -x 1x 0发散 x O-x 0发散 x 0发散幂级数在(-∞, + ∞)收敛;???0n nnxa 幂级数收敛与发散的分界点:± R 的收敛域: (1) R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛; (2) R = + ?时,,0)3(时????R 幂级数在(- R , R )收敛; (- R , R )加上收敛区间的收敛端点:收敛域. R :收敛半径; 在[- R , R ] 可能收敛(发散) .Rx??外发散;在(- R , R ) : 发散发散收敛收敛发散结论: axa xa n nn nn nnn????????? 1 11 lim lim 3. 收敛半经 R 的求法且设???0n nnxa ?????n nna a 1 lim 证xρ?定理 ) lim ???? nnna (或??????????,0 , , 1ρR 则收敛半经时, 当????ρ0 时, 当0?ρ时, 当???ρ???0n nnxa 考虑,0)1 ????ρ若)( 0散敛则???n nnxa , )( 0散敛用比值法判断???n nnxa