课外补充习题和自测题-常系数微分方程.doc

基本题 1. 下列函数组在其定义区间内, 是否线性无关? (1) 1,xe ; (2) xe ,xe ?; (3)x2 sin ,xx sin cos ; (4)x ,2x ; (5)x sin ,x cos ; (6)x 2 sin ,x 2 cos 1?. 2. 在第 1 题的函数组中, 选择哪些函数的线性组合, 方可构成下列方程的通解? (1)0"??yy , (2)0"??yy , (3)0'"??yy . 3. 运用通解的结构定理 写出下列方程的通解. (1)xyy2"??, (2) xeyy??" , (3) xexyy???" . 4. 求下列常系数齐次线性方程的通解或初始问题的解: (1)05'4"???yyy , (2)04'4"???yyy , (3)07'4"???yyy , (4)0'4"??yy , (5)08"??yy , (6)08'2"3???yyy , (7)05'8"4???yyy , (8)0'10 "6'''???yyy , (9)04"4 )4(???yyy , (10)04"4 )4(???yyy , (11)0'2 )3()5(???yyy , (12) ???????????,2',4 ,0'2" 00xxyy yyy (13) ?????????.5',2 ,025 " 00xxyy yy 5. 下列二阶常系数非齐次方程具有什么样形式的特解? (1) xeyy 5"??, (2) x xeyy??" , (3)xyy??'2" , (4)xexyyy ?????)12(3'2" 2 , (5)xexxyyy)1('2" 3????? 6. 求下列二阶系数非齐次线性方程的通解或初值问题的解: (1) 2'2"xyy??, (2) x xeyy ???" , (3)x xeyyy???2'3" , (4)xeyyy 24'4"???, (5)???????????,2',1 ,4" 00 2xx xyy eyy (6)?????????????.2';1 ,'2" 00xx xyy xeyyy 7. 求下列二阶常系数非齐次方程的通解或初值问题的解: (1)xeyy x sin 2'3" 2??, (2)xxyy cos 4"??, (3)??????????.0';0 , sin '" 00xxyy xyyy (4)?????????.0';0 sin cos 4" 00xxyy xxyy 8. 应用线性叠加原理求下列方程的通解或初值问题的解: (1)xxeeyyy ?????'2" , (2)xyy 2 sin "??, (3).2 1',0 00????xxyy (4)????????????.1',1 , sin " 00xx xyy exyy 9. 求下列欧拉方程的通解或初值问题的解: (1)x xdx dyxdx ydx 1 ln6 22???, (2)xydx dyxdx ydx??? 2 22 , (3)????????????.1';0 ,2 11 2 22xxyy xydx dyxdx ydx 10. 求微分方程组的通解或初值问题的解: (1)?????????, sin , cos txdt dy tydt dx (2)?????????????????.0,1 ,2 ,23