MATLAB计算方法和技巧_单摆的傅立叶分析.doc

1 单摆振动规律的傅立叶分析[ 问题] 单摆振动规律的傅立叶分析对单摆振动规律进行傅立叶分析。[ 数学模型] 图所示,设摆锤质量为 m ,角位置为θ, 摆锤的运动方程为 22d sin d ml mg t ????, 即 22d sin d g t l ????, () 在小角度的情况下, sin θ≈θ,可得 2202d0dt ???? ?, () 其中 0/ g l ??,ω 0为小角振幅的圆频率。可知:单摆在小角度时作简谐振动,小角度周期为 002π2π lTg?? ?。() 可见:在小角振动的情况下,单摆的周期与角振幅无关, 这称为单摆的等时性。摆锤的角速度为ω=dθ/dt ,因此 22 d d d d d d d d d d t t t ? ?????? ?? ? ?, 由() 式可得 d sin d gl ?? ????, 积分得 21 cos 2 gCl ? ?? ?, 当t=0 时, ω=0,θ=θ m, 可得 C=-g cos θ m/l 。因此角速度大小为 m d 2 (cos cos ) d g t l ?? ??? ? ?。(. 4) 单摆的周期为 m m 0 0 0 m m d 2 d 42π cos cos cos cos l T T g ? ?? ?? ? ??? ?? ?? ?。(. 5) θlmg Of tT 图 2 对于角振幅θ m, 通过数值积分和符号积都能计算周期。利用半角公式可得 m0 2 2 0m 1 d π sin / 2 sin / 2 T T ??? ????。设m sin 2 k ??, (. 6) 并设 k sin x= sin (θ/2), 因此1 cos d cos d 2 2 k x x ???, 可得π/ 2π/ 2 0 0 2 2 2 2 0 0 1 2 cos d 2 d ππ cos( / 2) sin 1 sin / 2 k x x x T T T k k x ? ?? ?? ??