向量在数学中的应用.doc

向量在数学中的应用一、向量知识设a=(x,y ), b =(x' , y') 。 1 、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法 OB+OA=OC 。 a+b =(x+x' , y+y') 。 a+0=0+a=a。向量加法的运算律: 交换律: a+b=b+a; 结合律: (a+b )+c=a +(b+c)。 2 、向量的减法如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a =-b,b =-a,a+b= 的反向量为0 AB- AC= CB. 即“共同起点,指向被向量的减法减”a =(x,y) b =(x',y') 则a-b =(x-x',y-y'). 3 、数乘向量实数λ和向量 a 的乘积是一个向量,记作λa ,且∣λ a∣= ∣λ∣·∣a∣。当λ>0 时, λa与a 同方向当λ<0 时, λa与a 反方向; 向量的数乘当λ=0 时, λa=0 ,方向任意。当a=0 时,对于任意实数λ,都有λa=0。注:按定义知,如果λa=0 ,那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量 a的系数, 乘数向量λa 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。当λ>1时, 表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0) 上伸长为原来的∣λ∣倍当λ<1时, 表示向量a 的有向线段在原方向(λ>0)或×× 反方向(λ<0) 上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律: (λa)·b=λ(a· b) =(a ·λ b)。向量对于数的分配律(第一分配律): (λ+μ)a=λa+μ a. 数对于向量的分配律(第二分配律): λ(a+b )=λa+λ b. 数乘向量的消去律:①如果实数λ≠ 0且λ a=λb, 那么 a=b 。②如果 a≠0且λ a=μa ,那么λ=μ。 4 、向量的数量积定义:已知两个非零向量 a,b 。作 OA=a,OB=b , 则角 AOB 称作向量 a和向量 b 的夹角,记作〈 a,b 〉并规定 0≤〈 a,b 〉≤π定义:两个向量的数量积( 内积、点积)是一个数量,记作 a·b。若 a、b 不共线,则 a·b =|a|·|b|· cos 〈a,b 〉;若 a、b 共线, 则 a·b =+- ∣a ∣∣ b∣。向量的数量积的坐标表示: a·b =x· x'+y · y'。向量的数量积的运算律 a·b=b·a (交换律) (λ a)· b=λ(a· b)( 关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c (分配律) 向量的数量积的性质 a·a =|a|的平方。 a⊥b〈=〉a·b =0。|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下: |a· b|=|a| · |b| · |cos α|因为0≤|cos α|≤1 ,所以|a· b|≤|a| · |b| ) 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1 .向量的数量积不满足结合律,即: (a·b)·c≠a·(b·c) ;例如: (a·b )^2 ≠a ^2·b ^2。 2. 向量的数量积不满足消去律,即:由a·b=a·c(a≠0), 推不出 b=c。 3.|a·b|≠|a|·|b|4 .由|a |=| b| ,推不出 a=b 或 a=-b。 5 、向量的向量积定义: 两个向量 a和b 的向量积( 外积、叉积) 是一个向量, 记作 a×b (这里并不是乘号,