复变函数积分方法的思考总结.docx

复变函数积分方法的思考总结钱学森 11 陈海琪 2110405004 摘要:函数的积分问题是复变函数轮的主要内容,也是其基础部分,因此有必要总结归纳求积分的各种方法。其主要方法有:利用柯西积分定理,柯西积分公式和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍。关键词:积分,解析,函数,曲线 1. 利用定义求积分例1、计算积分?? dz ixyx c??? 2,积分路径 C是连接由 0到i?1 的直线段. 解:?? 10???xxy 为从点 0到点 i?1 的直线方程,于是?? dz ixyx c??? 2???? iyxd ixyx i??????10 2???? ixxd ixxx????? 10 2?? dxxii??? 10 213 1i???. 2. 利用柯西积分定理求积分柯西积分定理:设?? zf 在单连通区域 D 内解析, C 为D 内任一条周线,则?? 0?? dzzf c. 柯西积分定理的等价形式:设 C 是一条周线, D 为C 之内部, ?? zf 在闭域 CDD??上解析,则?? 0?? dzzf c. 例2、求 dziz z c?? cos ,其中 C 为圆周 13??iz , 解:圆周 C 为?? 13???zz ,被积函数的奇点为 i?,在 C 的外部, 于是, iz z? cos 在以 C 为边界的闭圆 13??iz 上解析, 故由柯西积分定理的等价形式得 dziz z c?? cos 0?. 如果 D 为多连通区域,有如下定理: 设D 是由复周线???????? 210 所构成的有界多连通区域, ?? zf 在D 内解析,在 CDD??上连续,则?? 0?? dzzf c. 3. 利用柯西积分公式求积分设区域 D 的边界是周线或复周线 C ,函数?? zf 在D 内解析,在CDD??上连续,则有?????????? dz fi zf c???2 1?? Dz?,即?????? z ifdz f c????2???. ????????d c???19 2,其中 C 为圆周 2??. 解:????????d c???19 2??????di c????? 295 ??另外,若a 为周线 C 内部一点,则???? caz dzi?2??? 0??? c naz dz (1?n ,且 n 为整数) . 4. 应用留数定理求复积分?? zf 在复周线或周线 C 所围的区域 D 内,除 naaa?,, 21 外解析,在闭域 CDD??上除 naaa?,, 21外连续,则???? zfsi dzzf nk az c????? 1 Re 2?. 设a 为?? zf 的n 阶极点, ?? zf???? naz z???,其中?? z?在点 a 解析, ?? 0?a?,则????????!1 Re 1????n azfs naz?.?? dzzz z z???? 2 21 25 解:被积函数?? zf?? 21 25???zz z 在圆周 2?z 的内部只有一阶极点 0?z 及1?z , ???? 2|2 25 Re 020??????? zzz zzfs ?? 2| 2| 25 Re 12 11?????????????? zzzzz zzfs 因此,由留数定理可得?? dzzz z z???? 2 21 25??