数列通项公式的常用求法 习题课 学案 （苏教版必修5）.doc

****题课 2 数列通项公式的常用求法【课标要求】 1. 在熟练掌握等差数列与等比数列的定义、公式、通项的基础上灵活解决一些求数列的通项公式的综合问题. 2 .利用 S n和a n 的关系,求数列的通项公式. 3 .掌握利用递推关系求通项公式方法:归纳、累差、累商、迭代、化归等. 【核心扫描】 1 .利用数列的通项公式与前 n 项和公式的关系求通项公式. ( 重点) 2 .利用递推关系求通项公式. ( 难点) 题型一累加法、累乘法求通项公式【例 1】(1) 已知 a 1=1,a n +1-a n=2 n-n ,求 a n. (2) 已知 a 1=1, a n +1a n= n+2n ,求 a n.[ 思路探索] (1) 本题给出数列{a n} 连续两项的差,故可用累加法求得 a n 的表达式. (2) 本题给出了数列{a n} 的连续两项的商,故可用累乘法求得 a n 的表达式. 解(1) ∵a n +1-a n=2 n-n, ∴n≥2时,a 2-a 1=2 1-1,a 3-a 2=2 2-2,a 4-a 3=2 3-3,…,a n-a n -1=2 n -1-(n- 1), ∴a n-a 1= (2+2 2+…+2 n -1)- [1+2+3+…+(n- 1)] . ∴a n= (1+2+2 2+…+2 n -1)- n?n-1?2 =2 n- n?n-1?2 - 1. 而a 1=1 也适合上式. ∴{a n} 的通项公式 a n=2 n- n?n-1?2 - 1. (2) ∵ a n +1a n= n+2n , ∴n≥2 时, a 2a 1× a 3a 2× a 4a 3 ×…× a na n -1= 31 × 42 × 53 × 64 × 75 ×…× nn-2 × n+1n-1 = n?n+1?2 ,即 a na 1= n?n+1?2 .又∵a 1=1,∴a n= n?n+1?2 .而a 1=1 也适合上式, ∴{a n} 的通项公式 a n= 12 n(n+ 1). 规律方法(1) 形如已知 a 1 ,且 a n +1-a n=f(n )(f(n) 是可求和数列) 的形式均可用累加法. (2) 形如已知 a 1 ,且 a n +1a n=f(n )(f(n) 是可求积的数列) 的形式均可利用累乘法. 【训练 1】已知数列{a n} 中, a 1=2 ,前 n 项和 S n ,若 S n=n 2a n ,求 a n. 解在数列{a n} 中, a 1=2 ,前 n 项和 S n=n 2a n, ∴当n≥2 时, a n=S n-S n -1=n 2a n-(n- 1) 2a n -1, 即(n 2- 1)a n=(n- 1) 2a n -1, ∴ a na n -1= n-1n+1 (n≥ 2), 即 a 2a 1= 13 , a 3a 2= 24 , a 4a 3= 35 , a 5a 4= 46 …, a na n -1= n-1n+1 , ∴当n≥2 时,以上 n-1 等式相乘,得 a 2a 1× a 3a 2 ×…× a na n -1= 13 × 24 × 35 × 46 ×…× n-1n+1 = 1×2n?n+1?, 即 a na 1= 2n?n+1?,∴a n= 2n?n+1? a 1,∵a 1=2, ∴a n= 4n?n+1?,