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实验2 数学建模初步
§ 什么是数学建模
数学模型可以描述为:为了认识客观对象在数量方面的特征、定量的分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时,所得到的一个数学表述。
我们所说的数学建模,包括模型的建立、求解、分析和
解释以及检验的全过程。
模型是人们为了一定的目的,对客观事物的某一部分进行
简缩、抽象、提练出来的原型的替代物,它集中反映了原型
中人们所需要的那一部分特征。
简而言之:为了定量地解决一个实际问题,从中抽象、归纳出来的数学表述。
例1、甲乙两地相距750km,船从甲地到乙地顺水航行需30小时,从乙地到甲地逆水航行需50小时,问船的速度是多少?
解. 设x,y分别表示船速和水速,列出方程
求解得到
上题包含了建立数学模型的基本内容:
⑴简化假设:航行中的船速和水速为常数;
⑵用符号代表有关的量 x代表船速,y代表水速;
⑶利用物理规律得到数学表述——二元一次方程;
⑷求解方程,得到
⑸回答原问题,船速为20km/h;
⑹对于实际问题,以上结果必须用实际信息来检验。
现实对象
的信息
预测/解释
数学模型
数学结论
简化
求解
阐明
验证
概念差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型
未来值=现在值+变化
变化=未来值-现在值
例2、抵押贷款买房六年前,李红的父母筹借月利率为1%, 年贷款资金80000元买了房子,他们已经还款72个月,同时想知道他们还欠多少抵押贷款,他们正在考虑用他们得到的一笔遗产来付清贷款。或者他们可以重新根据偿还期长短,以不同利率偿还抵押贷款。
解、设第k个月末的欠款余额为bk,则
b(72)=
§ 数学建模实例
种子数
活过冬天
第1年春季发芽
活过冬天
没有发芽
活过第2个冬天
第2年春季发芽
例3、一年生植物的繁殖
数学建模记一棵植物秋季产种的平均数为c,种子能够活过一个冬天的比例为b,一岁的种子能在春季发芽的比例为a1,未能发芽但又能活过一个冬天的比例仍为b,两岁的种子能在春季发芽的比例为a2,设c,a1,a2固定,而b可在一定范围内变化,设种子最多可以活过二个冬天。试考察这种植物数量的变化规律。
设第k年的植物数量为XK ,则
结果分析: 可以看到,对于不同的b,植物数量xk 变化规律有较大差别
设c=10, a1=, a2=, b=~, x0=100 编程讨论。
二应用实例——人口增长率
已知20世纪美国人口统计数据如下,试计算表2 中这些年份的人口增长率。
表2 20世纪美国人口统计数据
年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990
人口(.106)
又已知某地区20世纪70年代的人口增长率如表3,且1970年人口为210(百万),试估计1980年的人口。
表3 某地区20世纪70年代人口增长率数据
年份 1970 1972 1974 1976 1978 1980
年增长率(%)
1 记时刻t 的人口为x(t),人口相对增长率为
,记
1900—1990年的人口依次为 xk ,(k=0,1,...,n),年增长率为rk 。
由三点公式可以得到:
x=[ ...
];
r(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/20/x(1);
for k=2:9
r(k)=(x(k+1)-x(k-1))/20/x(k);
end
r(10)=(x(8)-4*x(9)+3*x(10))/20/x(10);
r
r =










表3 某地区20世纪70年代人口增长率数据
年份 1970 1972 1974 1976 1978 1980
年增长率(%)
2 某地区20世纪70年代人口增长率如下表:
人口增长满足微分方程
和初始条件为x(0)= x0。
其解为
由于增长率r(t)为离散数据,故
用数值积分计算:
x0=210;
r=[ ]/1