电磁学计算题.docx

计算题
1、一半径为R的半圆细环上均匀地分布正电荷Q,求环心处的电场强度。
解:在弧线上取线元dl,其带电量,可视为点电荷。因圆环上电荷对Y轴呈对称分布,电场分布也是轴对称的。则有:

统一积分变量后,有:

方向沿Y轴负方向。
2. 如图,用一均匀带电的玻璃细棒,弯成直径为2米的圆弧,两端空隙米,电量库仑。求圆心O处电场强度。
解:看作一个带负电圆环和一带正电的长为的圆弧在O处产生的场强之和,而带电环在O处的场强为零。
∵<<R可视为点电荷,设其电量为,则:


库
∴(伏/米)
3. 一半径为R的带电球,其电荷体密度为,为一常量,r为空间某点至球心的距离。试求:
(1)球内外的场强分布。(2)r为多大时,场强最大?该点的场强Emax=?
解: 由高斯定理,选择半径为r的球面为高斯面
(1) 则
时,
时,

由得处E最大,且
沿轴放置一端在原点(x=0)的长为L的细棒,每单位长度的电荷分布为λ=kx,k为常数,取无限远处电位为零,求y轴上点P(0,y)的电位。
解:由点电荷电位公式及叠加原理:



5、一长为L的圆柱形电容器,半径分别为R1和R2,两导体间充满相对介电常数为的均匀电介质,沿轴线放一单位长度上带有正的自由电荷的直导线。设L>>R2,试求:
(1) 介质中的、及两导体间的电势差。(2) 电容器单位长度的电容。
解:(1)介质中的、及两导体间的电势差:
因为电荷分布具有轴对称性,因此电场也具有轴对称性。由介质中的高斯定理得:
; 方向沿矢径方向
由电势的定义
(2) 由电容的定义C=Q/DU,电容器单位长度的电容:
6、球形电容器由内半径为的导体球和外半径为()的导体球壳组成,电容器内部充满均匀电介质,其绝对介电常数为;设内球带电,外球带电,求:
(1)两球面之间距圆心为处的电场强度的大小;(2)此球形电容器的电容。
(3)此球形电容器的静电能。
解:(1)使用高斯定理求解,需要作文字说明(电场的分布,高斯面的选择)

或者用文字说明方向。
(2)使用定义式求电容
,
所以:。
(3)电容器的静电能为

7、图中:=20V,ro=1,R1=6,r1=1,R2=4,r2=1,R3=2,
Io=1A,I2=2A。求:、、Uab。
解:
设、方向如图,
则;
, =18(V)
=7(V)
8、两个电源向负载供电, 忽略电源内阻,
如图所示,求各支路上的电流。
解:设各支路电流分别为
对于节点
对于回路,
联立求解得:
9、两同轴铜质圆柱套管,长为L,内圆柱的半径为a,外圆柱半径为b,两圆柱间充以电阻率为ρ的石墨,如图所示,若从内圆筒作为一电极,外圆筒作为另一电极,求石墨的电阻。
解法1:由欧姆定律可求电阻。由于铜的电阻率非常小,两个同轴铜管可以分别作为一个等势面,电流沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒。根据对称性,石墨中电流密度是轴距离r的函数,通过半径为r、长度L的圆拄的电流:
根据稳恒电流的闭合性,通过各柱面的电流是相等的,由此得:
两极间的电势差为:
于是电阻为:
解法2:由电阻定律可求电阻。当截面不均匀时有:
所以内外筒间的电阻为:
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