模式识别-4-概率密度函数的估计.ppt

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概率密度估计的基础知识
参数估计理论
极大似然估计(MLE)
贝叶斯估计(或称最大后验估计)
贝叶斯学****br/>非参数估计理论
密度估计
Parzen窗估计
K近邻估计(KNE)
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§4-1概率密度估计的基础知识
贝叶斯分类器中只要知道先验概率、条件概率或后验概概率P(ωi),P(x/ωi),P(ωi/x)就可以设计分类器了。现在来研究如何用已知训练样本的信息去估计P(ωi),P(x/ωi),P(ωi/x)

参数估计:先假定研究的问题具有某种数学模型,如正态分布,二项分布,再用已知类别的学****样本估计里面的参数。
非参数估计:不假定数学模型,直接用已知类别的学****样本的先验知识直接估计数学模型。
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监督参数估计:样本所属的类别及类条件总体概率概率密度函数的形式已知,而表征概率密度函数的某些参数是未知的。目的在于:由已知类别的样本集对总体分布的某些参数进行统计推断,此种情况下的估计问题称为监督参数估计。
非监督参数估计:已知总体概率密度函数形式但未知样本所属类别,要求推断出概率密度函数的某些参数,称这种推断方法为非监督情况下的参数估计。
注:监督与非监督是针对样本所属类别是已知还是未知而言的。
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:样本中包含着总体的信息,总希望通过样本集把有关信息抽取出来。也就是说,针对不同要求构造出样本的某种函数,该函数称为统计量。
:在参数估计中,总假设总体概率密度函数的形式已知,而未知的仅是分布中的参数,将未知参数记为,于是将总体分布未知参数的全部可容许值组成的集合称为参数空间,记为。
、估计量和估计值:点估计问题就是构造一个统计量作为参数的估计,在统计学中称为的估计量。若是属于类别的几个样本观察值,代入统计量d就得到对于第i类的的具体数值,该数值就称为的估计值。
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:除点估计外,还有另一类估计问题,要求用区间作为可能取值范围得一种估计,此区间称为置信区间,该类估计问题称为区间估计。
:参数估计是统计学的经典问题,解决方法很多,在此只考虑两种常用方法:一种是最大似然估计方法,另一种是贝叶斯估计方法。
(1)最大似然估计:把参数看作是确定而未知的,最好的估计值是在获得实际观察样本的最大的条件下得到的。
(2)贝叶斯估计:把未知的参数当作具有某种分布的随机变量,样本的观察结果使先验分布转化为后验分布,再根据后验分布修正原先对参数的估计。
:评价一个估计的“好坏”,不能按一次抽样结果得到的估计值与参数真值的偏差大小来确定,而必须从平均和方差的角度出发进行分析,即关于估计量性质的定义。
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§4-2参数估计理论

假定:
①待估参数θ是确定的未知量
②按类别把样本分成M类X1,X2,X3,…XM
其中第i类的样本共N个
Xi=(X1,X2,…XN)T并且是独立从总体中抽取的
③Xi中的样本不包含(i≠j)的信息,所以可以对每一
类样本独立进行处理。
④第i类的待估参数
根据以上四条假定,我们下边就可以只利用第i类学****样
本来估计第i类的概率密度,其它类的概率密度由其它类
的学****样本来估计。
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:
第i类样本的类条件概率密度:
P(Xi/ωi)=P(Xi/ωi﹒θi)=P(Xi/θi)
原属于i类的学****样本为Xi=(X1,X2,…XN,)Ti=1,2,…M
求θi的极大似然估计就是把P(Xi/θi)看成θi的函数,求
出使它极大时的θi值。
∵学****样本独立从总体样本集中抽取的
∴
N个学****样本出现概率的乘积
取对数:
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对θi求导,并令它为0:
有时上式是多解的,上图有5个解,只有一个解最大即.
P(Xi/θi)
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①∑已知,μ未知,估计μ
服从正态分布
所以在正态分布时
代入上式得
所以,有
这说明未知均值的极大似然估计正好是训练样本的算术平均。
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②∑,μ均未知
:n=1对于每个学****样本只有一个特征的简单情况:
(n=1)由上式得
即学****样本的算术平均
样本方差
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