随机过程复习题.doc

3、(10分)某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程,已知商店9:00开门,试求:
(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率;
(2)若已知开门半小时中无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。
3、解:设顾客到来过程为{N(t), t>=0},依题意N(t)是参数为l的Poisson过程。
(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率为:
(2)在开门半小时中无顾客到来可表示为,在未来半小时仍无顾客到来可表示为,从而所求概率为:
4、(15分)设某厂的商品的销售状态(按一个月计)可分为三个状态:滞销(用1表示)、正常(用2表示)、畅销(用3表示)。若经过对历史资料的整理分析,其销售状态的变化(从这月到下月)与初始时刻无关,且其状态转移概率为pij(pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率),一步转移矩阵为:
试对经过长时间后的销售状况进行分析。
4、解答:由一步转移概率矩阵可知状态互通,且pii>0,从而所有状态都是遍历状态,于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为p={p1,p2,p3},求解方程组:
p=pP, p1+p2+p3=1
即:
得:
即极限分布为:
由计算结果可以看出:经过相当长时间后,正常销售状态的可能性最大,而畅销状态的可能性最小。
3简述Poisson过程的随机分流定理
答:设为强度为的poisson过程,如果把其相应的指数流看成顾客流,用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客,归入第一类,而以概率1-p 把他归入第二类。对i=1,2,记
为t前到达的第i类顾客数,那么分别为强度为p与(1-p)的poisson过程,而且这两个过程相互独立。
4简述Markov链与Markov性质的概念
答:如果随机变量是离散的,而且对于及任意状态
,该随机序列为Markov链,该对应的性质为Markov性质。
5. 简述Markov状态分解定理
答:(1) Markov链的状态空间S可惟一分解为,其中T为暂态的全体,而为等价常返类。
(2)若Markov链的初分布集中在某个常返类上,则此Markov链概率为1地永远在此常返类中,也就是说,它也可以看成状态空间为的不可约Markov链。
7. 什么是随机过程,随机序列?
答:设T为[0,+)或(-,+),依赖于t(tT)的一族随机变量(或随机向量){}通称为随机过程,t称为时间。当T为整数集或正整数集时,则一般称为随机序列。
8 .什么是时齐的独立增量过程?
答:称随机过程{:t0}为独立增量过程,如果对于起始随机变量及其后的增量是相互独立的随机变量组;如果
的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。
。试求数学期望,方差,相关函数,协方差。
解:因为,(1)
所以(2)
(2)
(2)

,顾客流为泊松流,求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。
解:设是顾客到达数的泊松过程,,故,则3、(10分)设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程,平均每小时有180人,即;且每个顾客的消费额是服从参数为的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。
由题意可知,每个顾客的消费额是服从参数为的指数分布,由指数分布的性质可知:,故,则由复合泊松过程的性质可得:一天内商场营业额的数学期望;
一天内商场营业额的方差。
6、(15分)设是参数为的泊松过程,计算。
【解答】
设随机过程为常数,,求的一维概率密度、均值和相关函数。
解因,所以,也服从正态分布,
所以,的一维概率密度为
,
均值函数
相关函数


设有随机过程,其中为常数,是相互独立且服从正态分布的随机变量,求随机过程的均值和相关函数。
解因独立,,
所以,
均值

相关函数
2 独立地重复抛掷一枚硬币,每次抛掷出现正面的概率为,对于,令,这些值分别对应于第n-1次和第n次抛掷的结果为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),求马尔可夫链的一步和二步转移概率矩阵。
解对应状态为,(正,反),(反,正),(反,反)
,
(不可能事件)
(不可能事件)
同理可得下面概率
,
,
,
,
,
,
一步转移概率矩阵为
二步转移概率矩阵为
8 某商品六年共24个季度销售记录如下表(状态1—畅销,状态2—滞销)
季节
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
销售状态
1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2
季节
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
销售状态
1