隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数.doc

隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数.doc第六节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
1、隐函数的求导法
函数表示两个变量与之间的对应关系,,例如,等,这种函数表达式的特点是:等号左端是因变量的符号,而右端是含有自变量的式子,当自变量取定义域内任一值时,,例如方程表示一个函数,因为当自变量在内取值时,变量有唯一确定的值与之对应,这样的函数称为隐函数.
一般地,如果变量,之间的函数关系是由某一个方程所确定,那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.
把一个隐函数化成显函数,,,隐函数的显化有时是有困难的,,,我们希望有一种方法,不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.
我们知道,把方程所确定的隐函数代入原方程,便得恒等式,把这个恒等式的两端对求导,,左端是将代入后所得的结果,所以,当方程的两端对求导时,要记住是的函数,,.
例1 求由方程所确定的隐函数的导数.
解把方程两端分别对求导,记住是的函数,得
,
由此得().
例2 求由方程所确定的隐函数的导数.
解把方程两端分别对求导,得
,
由此得.
例3 求曲线在横坐标为的点处的切线和法线方程.
解由导数的几何意义,所求切线的斜率为,
方程两端分别对求导,有
,
从而
当时,,代入上式,得.
于是所求的切线方程为,
即.
法线方程为,
即.
例4 求由方程所确定的隐函数的二阶导数.
解方程两端分别对求导,得
,
于是.
上式两端再对求导,得
.
上式右端分式中的是由方程所确定的隐函数.
2、对数求导法
根据隐函数的求导法,、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数(包括幂指函数),化乘、除为加、减,化乘方、开方为乘积,然后利用隐函数求导法求导,.
例5 求的导数.
解对于两边取对数,得
,
两边对求导,得
,
于是.