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§4-9 克龙尼克-潘纳(Kronig-Penney)模型
布洛赫定理说明了晶体中电子波的共性,即均为调幅平面波。但当不知道周期势V(x)的具体形式时,无法计算电子的能量E、波函数ψ的微扰项,禁带宽度,紧束缚模型中的B值。
克龙尼克-潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例。
根据Bloch定理
(k ,x)=u(k,x)eikx
其中
u(k,x)=u(k ,x+na)
代入薛定谔方程
2 (k,x)+E -V(x)(k, x)=0
在势场的突变点,波函数及它的导数
经过整理得到U(x)满足的方程
必须连续,实际上要求函数u(x)和它的导数连续,下面分不同区域求出u(x)的表达式
(1)
(2)
<x<c,势能V0=0 (n=0)
其中A0和B0是n=0时的待定系数。
设
(3)
U(x)满足的方程(1)
(1)
成为
其解为
(4)
(5)
在na<na+x<na+c的区域,与(5)式对应
(9)
又由 u(x)=u(x+na)
比较可得
(10)
(5)
同理在na-b<na+x<na的区域,与(8)式对应
又由 u(x)=u(x+na)
比较可得
(12)
(8)
(11)
在x=0处,函数u(x)和它的导数连续
A0+B0=C0+D0 (13)
(14)
(8)
(5)
比较可得
在x=c(等效于x=-b)处,由u的连续条件得到
等效于
又
(16)
(15)
布洛赫定理说明了晶体中电子波的共性,即均为调幅平面波。但当不知道周期势V(x)的具体形式时,无法计算电子的能量E、波函数ψ的微扰项,禁带宽度,紧束缚模型中的B值。
克龙尼克-潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例。
根据Bloch定理
(k ,x)=u(k,x)eikx
其中
u(k,x)=u(k ,x+na)
代入薛定谔方程
2 (k,x)+E -V(x)(k, x)=0
在势场的突变点,波函数及它的导数
经过整理得到U(x)满足的方程
必须连续,实际上要求函数u(x)和它的导数连续,下面分不同区域求出u(x)的表达式
(1)
(2)
<x<c,势能V0=0 (n=0)
其中A0和B0是n=0时的待定系数。
设
(3)
U(x)满足的方程(1)
(1)
成为
其解为
(4)
(5)
在na<na+x<na+c的区域,与(5)式对应
(9)
又由 u(x)=u(x+na)
比较可得
(10)
(5)
同理在na-b<na+x<na的区域,与(8)式对应
又由 u(x)=u(x+na)
比较可得
(12)
(8)
(11)
在x=0处,函数u(x)和它的导数连续
A0+B0=C0+D0 (13)
(14)
(8)
(5)
比较可得
在x=c(等效于x=-b)处,由u的连续条件得到
等效于
又
(16)
(15)
§4-6克龙尼克模型 固体物理 教学课件[精] 来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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