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第三章傅里叶变换
◆信号的正交分解
◆傅里叶级数
◆周期信号的频谱
◆傅里叶变换
◆抽样信号与抽样定理
引言
傅里叶级数的发展史:
1807年,法国数学家傅里叶提出“任何”周期信号都可以利用正弦级数来表示。
1829年,狄义赫利指出,周期信号只有满足了若干限制条件,才能用傅里叶级数来表示。
傅里叶级数与变换的应用
物理学、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等。
EG:反映地球气候的周期性变化很自然地会引入正弦信号;
交流电源产生的正弦电压和电流;
无线电台和电视台发射的信号都是正弦的。
一、正交函数与正交函数集
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1,t2)区间上的两个实变函数(信号),若在(t1,t2)区间上有

则称 f1(t)和f2(t) 在(t1,t2)内正交。
信号的正交分解
若f1(t),f2(t),…, fn(t)定义在(t1,t2)区间上,并且在(t1,t2) 内有
则{f1(t),f2(t),…, fn(t)} 在(t1,t2)内称为正交函数集,其中i, r=1,2,…,n; Ki为一正数。
{f1(t),f2(t),…, fn(t)}称为归一化正交函数集。
二、完备的正交函数集
如果在正交函数集{f1(t),f2(t),…, fn(t) }之外,找不到另外一个非零函数{fi(t)}与该函数集中每一个函数都正交,则称该函数集为完备正交函数集。
定理1: 设{f1(t),f2(t),…, fn(t) }在(t1,t2)区间内是某一类信号(函数)的完备正交函数集,则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为{f1(t),f2(t),…, fn(t) }的线性组合。
式中,Ci为加权系数,且有
常称正交展开式,有时也称为欧拉傅里叶公式或广义傅里叶级数, Ci称为傅里叶级数系数。
式子可以理解为:f(t)的能量等于各个分量的能量之和,即反映能量守恒。定理2也称为帕塞瓦尔定理。
定理2 在式条件下,有
〔〕已知余弦函数集{cost,cos2t,…,cosnt}(n为整数)
(1) 证明该函数集在区间(0,2π)内为正交函数集;
(2) 该函数集在区间(0,2π)内是完备正交函数集吗?
(3) 该函数集在区间(0,π/2) 内是正交函数集吗?
解:(1) 因为当i≠r时
可见该函数集在区间(0,2π)内满足正交函数集的定义式,故它在区间(0,2π)内是一个正交函数集。
当i=r时
(2) 因为对于非零函数sint,有
即sint在区间(0,2π)内与{cosnt}正交。故函数集{cosnt}在区间(0,2π)内不是完备正交函数集。