CH3傅里叶变换.ppt

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〔〕已知余弦函数集{cost,cos2t,…,cosnt}(n为整数)
(1)证明该函数集在区间(0,2π)内为正交函数集;
(2)该函数集在区间(0,2π)内是完备正交函数集吗?
(3)该函数集在区间(0,π/2)内是正交函数集吗?
解:(1)因为当i≠r时
可见该函数集在区间(0,2π)内满足正交函数集的定义式,故它在区间(0,2π)内是一个正交函数集。
当i=r时
(2)因为对于非零函数sint,有
即sint在区间(0,2π)内与{cosnt}正交。故函数集{cosnt}在区间(0,2π)内不是完备正交函数集。
(3)当i≠r时
对于任意整数,此式并不恒等于零。因此,根据正交函数集的定义,该函数集{cosnt}在区间(0,π/2)内不是正交函数集。

结论:一个函数集是否正交,与它所在区间有关,在某一区间可能正交,而在另一区间又可能不正交。
三、常见的完备正交函数集
三角函数集{cosnωt,sinnωt}(n=0,1,2…) 在区间(t0,t0+T)内,有
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
在(t0,t0+T)区间内,三角函数集对于周期为T的信号组成正交函数集,而且是完备的正交函数集(其完备性在此不讨论)。而函数集{cosnωt},{sinnωt},也是正交函数集,但它们均不是完备的。
(2)函数集在(t0,t0+T)区间内,对于周期为T的一类周期信号来说,也是一个完备的正交函数集。
ω
(3)函数集在区间(-∞,∞)内,对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交函数集。这里
称为抽样函数。

一、傅里叶级数的三角函数形式:
从数学上讲,当周期信号满足狄里赫利条件时才可展开为傅里叶级数。
(1)在一个周期内,如果有间断点存在,则间断点的个数应是有限的;
(2)在一个周期内,极大值和极小值的个数是有限的;
(3)在一个周期内,信号时绝对可积的。
但在电子、通信、控制等工程技术中的周期信号一般都能满足这个条件,故以后一般不再特别注明此条件。
周期信号可分解为(三角型傅里叶级数):