西电计算方法大作业.docx

西电计算方法大作业.docx科 目： 计算方法
授课老师： 史林
学 院： 电子工程学院
专 业： 电子信息工程
学生姓名：
学 号：
切触有理插值函数的新算法
021213 班濮明磊 02121234
一、 新算法优点
切触有理插值函数的算
科 目： 计算方法
授课老师： 史林
学 院： 电子工程学院
专 业： 电子信息工程
学生姓名：
学 号：
切触有理插值函数的新算法
021213 班濮明磊 02121234
一、 新算法优点
切触有理插值函数的算法大都是基于连分式进行的，其算法的可行性大都是 有条件的，且有理函数次数较高，计算量较大。本文利用拉格朗日插值的性质和 分段组合的方法，给出了一种新的切触有理插值算法，并给出误差估计且将其推 广到向量值切触有理插值情形。较之其他算法具有有理函数次数较低、计算量较 小、算法无条件性、无极点、满足高阶导数插值条件等优点。
二、 算法分析
给定"+ 1个互异的节点{%.}
a = xQ < xr < x2...< xn =b ()
所谓的切触有理插值问题，就是寻求有理函住使之满足下列条件
q(x)
~~r ~-~~ ，k — 0,1,...,s’ — 1,z — 0,1,...,n ()
所谓的向量值切触有理插值问题，就是寻求向量值有理函数
,、 N(x) ("](x)/,(x),...,y(x))
nx)= =
使得
k / 、、
N(x)
Q(x)
=V/幻-1;/= 0,1,...,〃 ()
' / / X=Xj
其中0x)和q(x)(顶=0,1,...,〃)是实系数多项式。
利用拉格朗日插值的性质和分段组合方法构造出一种计对5,. =3的切触有理
插值算法并将其推广到向量值切触有理插值情形，既解决了切触有理插值函数的 存在性问题，又降低了切触有理插值函数的次数且计算量较低。
三、切触有理插值公式
为了建立5,. =3的切触有理插值公式利用文间中的方法，引入非负整数 d(O<d< n)将节点( )按
= 0,1,...," 一d ( )
进行分组，对每组节点( )和函数值及导数值//(* = l,2;/ = iJ + l,...J + d) 所做的插值多项式记为久,,(x)。根据定理1可知多项式p*)是唯一确定的且次 数为 3d + 2 ,对剩下的节点 x0, Xj,xi+d+l, xi+cl+2 ,...,xn 做如下形式的 3/7 - 3d 次 代数多项式
i-1 n
ZA(X)=H(x —x,)3 — x) ( )
j=0 k=i+d+l
令
n—d
= (2・3)
i=0
记
兀.(x)=“⑴d = 0,1,...,〃 一 d ( )
g(x)
显然兀(x)是［1］型有理函数。利用兀(x)和RAX)做线性组合 \_3n-dj
E
n=d / 、 / 、
,=0〃,(X)(X)
八彩=乙 /,■ \x) E = —bd , 、- (25)
i=0 X,=o 出⑴
不难看出r(x)c F土］型有理函数。
［_3n-d\
定理1对所有的非负整数d(0<d<n),由式()给出的r(x)是满足下列 插值条件ra,(x