寿险精算学3.pdf

利息的度量:
名义利率、名义贴现率、利息强度
栾娜娜
对外经济贸易大学保险学院
1
复****名义利率
z 年名义利率 i (m)(m ≥1,为整数)表示每年结转m次利
息,即每 1/m 年支付一次利息,每次的实际利率为 i (m) / m。
z 例: i (4) = 8% 表示每个季度结转一次利息,且每个季度的
实际利率为2%。
名义利率与实际利率的关系:
z 名义利率与等价的年实际利率有如下关系:
m
⎛⎞i()m
11+=i ⎜⎟+
⎝⎠m
2
名义贴现率(nominal annual rate of
discount)
z 名义贴现率 d (m) (m > 1)
z 定义:d (m) 是指每 1/m 时期的实际贴现率为d (m) / m 。
z 名义贴现率与实际贴现率的关系:
m
⎡ d ()m ⎤
11−=d ⎢−⎥
⎣ m ⎦
z 重新整理得
()m m ⎡⎤⎡⎤11
⎡⎤d ()m mm
d =−11⎢⎥− dm=−−=−⎢⎥⎢⎥1(1) d mv 1
⎣⎦m ⎣⎦⎣⎦
3
z Example:Find the present value of $1000 to be
paid at the end of six year at 6% per annum
payable in advance and convertible semiannually.
z (名义贴现率为6%,每半年复利一次,第6年末的值
为$1000,求其现值)
z 解: d (2) = 6%
26×
⎡⎤6%
P =−1000 1 =×−= 1000 (1 3%)12
⎣⎦⎢⎥2
4
名义利率与名义贴现率的关系
z (1)一般情况
()mpmp() −
⎡⎤⎡⎤id −1
(1+=+id )⎢⎥⎢⎥ 1 =− 1 =−(1 ) =+ (1i )
⎣⎦⎣⎦mp
z (2)m=p
mm−
⎡ id()mm⎤⎡() ⎤
⎢11+=−⎥⎢⎥
⎣ mm⎦⎣⎦
z (3)把 i (m)/m 和 d (m)/m 看作 1/m 年内的实际利率和
实际贴现率,则
id()mmmm () id () ()
−=⋅
mmmm
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z 例:确定每季度复利一次的名义利率,使它等价于每
月复利一次的6%的名义贴现率。
z 解: d (12) = 6% ,
4 −12
⎡⎤i(4) ⎡ ⎤
⎢⎥11+=−⎢⎥
⎣⎦412⎣⎦
(4)
i −3
+=[]
4
i(4) =−=4[−3 1] %
6
z 例:已知 i (12) = %。求 i、d、 d (12) 并比较
四者的大小。
z 解:
i(12)
1(1)+=i + 12 ⇒=i −= 1 %
12
i %
d == =%
1++i 1 %
id(12) (12)
(1+ )12 (1−= )12 1 ⇒=−d (12) 12(1 −1 ) = %
12 12
ii>>()mm d () > d
7
小结:
期初的1元在期末的累积值(等价度量工具之间的关系):
()mpmp() −
⎡⎤⎡⎤id −11−
(1+=+id )⎢⎥⎢⎥ 1 =− 1 =−(1 ) =v
⎣⎦⎣⎦mp
i(m):年初投资1,每年复利m次,每1/m年末获得i(m)/m利息
d(m):年初投资1,每年复利m次,每1/m年初获得d(m)/m利息
8
z 回顾:
z 年实际利率度量了资金在一年内的增长强度(年平
均)。
z 名义利率度量了资金在一个小区间内(如一个月)的
增长强度(月平均)。
z 问题:
z 哪一个更能准确度量资金的增值速度?名义利率还
是实际利率?
z 如何度量资金在每一个时点上的增长强度?
z 在名义利率中,如果时间区间无穷小,名义利率就度
量了资金在一个时点上的增长强度。----利息强度
9
利息强度(force of interest)
z 定义:利息强度度量了资金在每一时点(也就是在无穷小的时
间区间内)增长的强度。
z 在时间区间[ t, t + h ]的实际利率为
at()()+ h− at
at()
z 年名义利率为(1年包含1/h个小区间)
at()()1()()+−