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第五章向量分析
5-6-1场论初步:三场与三度
5-6-1 三场:无旋场、无源场和调和场
5-6-2 三度算子在柱、球坐标系下的表示
第二十一讲三场与三度
课后作业:
课后作业:
阅读:第五章第六节: 无源场和保守场 pp. 182---187
预****第六章第一节: 无源场和保守场 pp. 182---187
作业****题6: ---188: 1; 2; 3,(2); 4, (2); 8; 9.
场论初步:三场与三度
5-6-1 三个曲型场
(一) 无旋场、保守场
保守场、积分与路迳无关
假设上的连续向量场

如果对于中的任意逐段光滑的有向曲线, 积分只与曲线的起点,终点有关,而与曲线本身无关, 则称该向量场是上的保守场.
有势场与势函数
如果存在上的可微函数使得, 则称
是上的有势场,并称是向量场的势函数.
此时,的全微分等于

因此是这个微分形式的原函数.
有势的充要条件(一) :
设是中的区域,

是上的向量场. 则下列命题互相等价:
(1). 是上的保守场.
(2).对于内部的任意一条闭曲线, 有.
(3). 是上的有势场.
这个定理的证明与平面问题证明类似, 故不再重复.
无旋场
设是中的区域,

是上的可微向量场, 如果在上处处有
,
则称是上的无旋场.
区域是中的面单连通区域, 是指内的任意一条简单闭曲线, 都存在内的一个逐片光滑曲面, 使得.
有势的充要条件(二) :
设是中的面单连通区域,

是上的可微向量场. 则下列命题互相等价:
(1). 是上的保守场.
(2). 是上的无旋场;
(3). 的Jacobi矩阵是对称的。
证明: 根据头个定理保守场一定是有势场,
不难验证有势场是无旋场:
.
反之, 假设是上的无旋场, 即处处有.
对于内的任意一条简单闭曲线, 由于是中的面单连通区域, 所以存在内的一个逐片光滑曲面(的方向可以根据有向曲线的方向,按照有向曲面与其边界方向的关系确定),
.
因此推出是上的保守场.
无旋与Jacobi矩阵的对称性的关系更为显然。
证毕.
例1: 验证向量场向量场

为保守场, 并且求其势函数.
解: 向量场在单连通区域上可微,并且处处满足
,
于是在上有势函数. 令
因为积分与路线无关, 所以这个积分可以沿任意一条
起点为终点为的逐段光滑曲线进行.
例如,可以先从沿轴积分至点,然后从沿与轴平行的直线积分至;最后从沿与轴平行的直线积分至.
这个函数就是在上势函数. 因为任意两个势函数之间只差一个常数, 所以对于任意常数,
也是在上势函数.
我们再提醒大家注意,

有势函数等价于微分形式

有原函数.
因此求向量场的势函数与求微分形式的原函数这两个问题是等价的.
(二), 无源场, 管形场
无源场
若向量场在区域上处处有
,
则称向量场在区域上为无源场.
,如果向量场在区域上为无源场, 则对于内的任意一个逐片光滑的闭曲面(外侧为正),恒有

其中是闭曲面所包围的区域.
无源场与旋度场的关系:
因为