圆锥曲线的焦半径巧用print.doc

圆锥曲线的焦半径巧用
圆锥曲线的焦半径为:二次曲线上任意一点Q到焦点的距离.
圆锥曲线的焦半径概念,,往往都牵涉到它,,掌握它是非常重要的.
椭圆焦半径: R左= a + x e, R右= a- x e,
右支双曲线焦半径:R左= x e + a,R右= x e- a ( x > 0) ,
左支双曲线焦半径:R左= - (x e + a),R右= - (x e- a) ( x < 0) ,
抛物线焦半径:R抛= x +.
对于这些结论我们无须花气力去记,只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义,:当P(x0 , y0)是双曲线b2x2 - a2y2 = a2b2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点,F1, F2是其左右焦点.
则有左准线方程为.
由双曲线的第二定义得,左焦半径为;
由|PF1|- |PF2| =2a,得|PF2| = |PF2| - 2a = ex0 - a.( |PF2|亦可由第二定义求得).
例1 已知F1,F2是椭圆E的左、右焦点,抛物线C以F1为顶点,F2为焦点,设P为椭圆与抛物线的一个交点,如果椭圆E的离心率e满足|PF1| = e | PF2 |,则e的值为( )
解法1 设F1(- c, 0 ),F2(c , 0),P(x0 , y0),
于是,抛物线的方程为 y2 = 2 (4 c)(x + c) , 抛物线的准线 l:x =- 3 c,椭圆的准线 m:,
设点P到两条准线的距离分别为d1 , ,由抛物线定义,得 d1 = | PF2 | , ……………………①
又由椭圆的定义得|PF1| = ed2,而|PF1| = e | PF2 |,………………………………②
由①②得 d2 = | PF2 |, 故 d1 = d2,从而两条准线重合.∴.故选(C).
解法2 由椭圆定义得|PF1| + | PF2 | = 2a,又|PF1| = e | PF2 |,∴| PF2 | (1+ e) = 2a,………①
又由抛物线定义得| PF2 | = x0 + 3c, 即 x0 = | PF2 | - 3c,……………………………②
由椭圆定义得| PF2 | = a- ex0 , ………………………………………③
由②③得| PF2 | = a- e | PF2 | + 3ec,即| PF2 | (1+ e ) = a + 3ec, …………………④
由①④得 2a = a + 3ec,解得,故选(C).
点评结合椭圆、抛物线的定义,并充分运用焦半径是解答本题的基本思想.
例2 设椭圆E:b2x2 + a2y2 = a2b2 (a> b> 0),的左、右焦点分别为 F1, F2,右顶点为A, 如果点M为椭圆E上的任意一点,且|MF1|·|MF2| 的最小值为.
(1) 求椭圆的离心率e;
(2) 设双曲线Q:是以椭圆E的焦点为顶点,顶点为焦点,且在第一象限内任取Q上一点P,试问是否存在常数λ(λ> 0),使得∠PAF1 =λ∠PF1A成立?试证明你的结论.
分析对于(1)(2) 是一探索型的命题