群论在固体物理中的运用(讲稿)p104-141 讲稿.doc

群论在固体物理中的运用(讲稿)p104-141_讲稿第二章群表示理论
§ 表示的直积
矩阵的直积
(1)定义
例如:
,
则
维数是 n×m
(2)定理
若,,则有
直积表示
(1)定义:群G的两个表示,表示矩阵为
Da(A), Db(A)
则表示矩阵的直积,也是群G的一个表示
Da(A)Db(A)
称为直积表示(一般是可约表示)。
(2)直积表示的特征标
(-6)
(3)直积表示的约化
(-6)
即
(4)直积表示的基函数
若直积表示 D(A)= Di(A)Dj(A),
不可约表示的基函数分别为
Di :{、、…、}
Dj :{、、…、}
则直积表示有个基函数,分别是
(-10)
§ 直积群的表示
复****167; 直积群
Ga={E, A2, A3, …, Aga}
Gb={E, B2, B3, …, Bgb}
则阶的直积群
G= GaGb
={EGb, A2Gb, A3Gb, …, AgaGb }
={E,B2,…, Bgb,A2,A2B2,…A2Bgb,…, AgaBgb }
(1)两个可对易群的表示的直积,是直积群的表示。
(2)直积群表示的特征标,是可对易群的表示的特征标的乘积
(3)若Da和Db分别是群Ga和Gb的不可约表示,则
D=DaDb
是直积群 G= GaGb
的不可约表示。
(4)若群G= GaGb,则群G的所有不可约表示,是
Ga与Gb的所有不可约表示的直积。
例如:
(a)群C2h={E, c2, I, Ic2=σh}
C2h=C2Ci

则直积群的不可约表示和特征标表为
(b)
其中O群是立方体的完全转动群。
(5)直积群表示的基函数
Da :{、、…、}
Db :{、、…、}
则直积表示有个基函数,分别是
(-9)
比较:
直积表示D(A)= Di(A)Dj(A)的基函数
不可约表示的基函数分别为
Di :{、、…、}
Dj :{、、…、}
则直积表示有个基函数,分别是
(-10)
§ 实表示
定义
(1)复共轭表示
若DG是群G的一个表示,例如表示矩阵为
其复共轭矩阵为
这一组矩阵记作DG*。可以证明:
DG*也是群G的一个表示;
若DiG是群G的一个不可约表示,则DiG*也是群G的一个不可约表示;
若DG是一个幺正表示,即
,
则DG*也是一个幺正表示。
表示DG*称作群G的复共轭表示。
(2)实表示
(a) 若表示DG*与DG等价,而且都等价于同一组实数的表示矩阵,那么,表示DG就称为实表示。
DG*与DG等价等价的判定(例如):
若等价,则
即
特殊的:对角元为相同实数的两个复共轭
矩阵,一定是等价的。
(b) 若表示DG*与DG等价,但却不等价于同一组实数的表示矩阵,或者说不等价于一实表示,那么,表示DG不是实表示。
定理1
若DG与DG*是群G的等价的不可约表示,即存在矩阵C,使得
D(R)*=CD(R)C-1, (-1)
那么
(I)
相似变换矩阵一定是对称的或反对称的;
(II)
定理2 设群G的不可约表示DG的特征标为,那么
这是群G的不可约表示DG与DG*是否等价、是否为实表示的一个判据。
例如:D3群
恒等表示
二维表示,
所以,D3群的上述表示与其复共轭是等价的,并且与一个实矩阵表示等价,是实表示。
又例如:一个3阶群的一维表示为
1,ω,ω2
其中.
对应的复共轭表示为
1,ω2,ω
这两个表示是否等价、是否为实表示?
判据:一维表示 1,ω,ω2
所以,表示 1,ω,ω2
与其复共轭表示 1,ω2,ω
是不等价的复表示
(不等价就不可能是实表示)。
第三章完全转动群
§ 三维空间中的正交群
§ 三维转动矩阵
定义
(1)矢量的转动
如果保持任意两个矢量变换前后内积不变
(-1)
称算符A为转动算符。
注意:转动包括正当转动(完全转动)与
非正当转动(镜面反映、中心反演)
转动算符A的三维转动矩阵:
三维坐标空间中的矢量
(基矢或基函数记作一个行矩阵)。
在三维坐标空间写为