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电子在带电小球周围的分布探究
工程力学闫国旗 1120120198
摘要:
本文将用量子力学的手段对带电实心小圆球周围的电子分布进行初步探究。
正文:
假设空间有一孤立实心均匀带电小球,设其半径为R,带电量为+q。则其产生的电势在空间中的分布为。
这里,我们先计算出的波函数。薛定谔定态方程为
,
这是二阶线性变系数微分方程,由常微分方程理论,方程有如下形式的解
,
是待定常数,对求二次导数带入原方程:

对比项的系数得=0,可得或。继续比较的系数,要么,要么。若对任意k均成立,则可得,否则必能解出为某一有限值,记为。则波函数有解
,
因为必为非负数,所以中x项指数均大于等于零,由归一化条件
,
可知。
综合上述讨论,有结论,即电子不可能出现在小球半径之外的区域。
下面讨论的部分,在小球内部满足定态薛定谔方程
,
这是二阶常系数线性微分方程,下面分两种情况讨论:
,
则方程有下列形式的解:
,,
由波函数必须满足的连续性,有,加之归一化条件,有方程组
,
由此解出常数:
,
,
则方程有下列形式的解:
,,
由波函数连续性,有,加之归一化条件,有方程组
,
由此解出常数:
,

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