线性代数第11讲.ppt

线性代数第11讲
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§ n维向量空间
为了深入讨论线性方程组的问题, 我们来介绍n维向量空间的相关概念.
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一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成的有序数组, 其每一列都是由m个数组成的有序数组. 在研究其它问题时也常遇到有序数组. 例如平面上一点的坐标和空间中一点的坐标分别是二元和三元有序数组(x,y),(x,y,z). 又如把组成社会生产的各部门的产品或劳务的数量, 按一定次序排列起来, 就得到国民经济各部门或劳务的有序数组.
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n个实数组成的有序数组称为n维向量. 一般用a,b,g等希腊字母表示, 有时也用a,b,c,o,u,v,x,y等拉丁字母表示. a=(a1,a2,,an)称为n维行向量. 其中ai称为向量a的第i个分量;
称为n维列向量. bi是其第i个分量.
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要把列(行)向量写成行(列)向量可用转置记号, 例如
可写成 b=(b1,b2,,bn)T
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两个n维向量当且仅当它们各对应分量相等时, 才是相等的. 即如果a=(a1,a2,,an), b=(b1,b2,,bn)当且仅当ai=bi (i=1, 2, , n)时, a=b.所有分量均为零的向量称为零向量, 记为 o=(0, 0, , 0)n维向量a=(a1,a2,,an)的各分量的相反数组成的n维向量, 称为a的负向量, 记为-a, 即-a=(-a1,-a2,,-an).
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两个n维向量a=(a1,a2,,an)与b=(b1,b2,,bn)的各对应分量之和所组成的向量, 称为向量a与向量b的和, 记为a+b. 即a+b=(a1+b1,a2+b2,,an+bn).由向量加法及负向量的定义, 可定义向量减法: a-b=a+(-b) =(a1,a2,,an)+(-b1,-b2,,-bn) =(a1-b1,a2-b2,,an-bn)
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n维向量a=(a1,a2,,an)的各个分量都乘以k(k为一实数)所组成的向量, 称为数k与向量a的乘积, 记作ka, 即ka=(ka1,ka2,,kan).向量的加, 减及数乘运算统称为向量的线性运算.
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所有n维实向量的集合记为Rn, 我们称Rn为实n维向量空间, 它是指在Rn中定义了加法及数乘这两种运算, 并且这两种运算满足以下8条规律:(1) a+b=b+a(2) a+(b+g)=(a+b)+g(3) a+o=a(4) a+(-a)=o(5) (k+l)a=ka+la(6) k(a+b)=ka+kb(7) (kl)a=k(la)(8) 1a=a
其中a,b,g都是n维向量, k,l为实数
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