不定积分的性质原函数的概念不定积分的概念.ppt

第四章
不定积分
1
第一节 不定积分的概念与性质
原函数与不定积分的概念
基本积分表
不定积分的性质
小结思考题
2
问题的提出
微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数,与之相反的问题是:
求一个未知函数,使其导函数恰好是某一已知函数。
这种逆问题不仅是数学理论本身的需要,而且还因为它出现在许多实际问题之中。
已知曲线上每一点处的切线斜率,求曲线方程等。
3
一、原函数与不定积分的概念
例
定义1:
是
的原函数.
如果在区间
上,
可导函数
的导函数为
,
或
,
即
都有
,
那么函数
就称为
或
在区间上的
原函数.
原函数不唯一
如何判断F(x)是f(x)的原函数?
4
原函数存在定理:
简言之:连续函数一定有原函数.
问题:
(1) 原函数是否唯一?
(2) 若不唯一它们之间有什么联系?
如果函数
在区间
内连续,
可导函数
,
使
,都有
.
那么在区间
内存在
关于原函数的说明:
(1)若,则对于任意常数,
(2)若和都是的原函数,
则
( 为任意常数)
都是
的原函数.
例如所有的基本初等函数在各自的定义域内都连续,它们都有原函数。
5
结论:若一个函数有原函数,则该函数一定有许多原函数,且任两个原函数仅差一个常数。
定义2:
在区间
内,
函数
的带有任意常数项的原函数
称为
在区间
内的不定积分,
.
记为
任意常数
积分号
被积函数
被积表达式
积分变量
例1 求
解
6
解
例2 求
?
例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.
解
设曲线方程为
根据题意知
由曲线通过点(1,2)
所求曲线方程为
即
是
的一个原函数.
7
几点说明:
1、不定积分的几何意义
显然,求不定积分得到一积分曲线族.
积分曲线族
2、由不定积分的定义,可知
或
3、由于的原函数,
结论:
微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
函数
的原函数的图形称为
的积分曲线.
所以
注意:所有的原函数在图象上是相互平移的曲线.
先算不定积分后求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵消后相差一个常数.
在同一点它们有相互平行的切线.
8
实例
启示
能否根据求导公式得出积分公式?
结论
既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.
二、基本积分表
每一个导数公式对应一个不定积分公式.
基本积分表
是常数);
简写为
9
基本积分表
10