三角函数的周期性.ppt

序曲
三角函数知多少
正弦函数作代表
三角函数讲周期
周期当中挑最小
三角函数的周期性
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三角函数的周期性
一、正弦函数的周期
二、复合函数的周期性
三、周期函数的和函数
四、周期函数在高考中
五、高考史上的周期大难题
六、高考史上的周期大错题
三角函数的周期性
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一、正弦函数的周期
三角函数,以正弦函数 y = sin x 为代表,是典型的周期函数.
幂函数 y = xα无周期性,指数函数 y = ax 无周期性,对数函数 y =logax无周期,一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性.
周期性是三角函数独有的特性.
三角函数的周期性
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1. 正弦函数 y=sinx 的最小正周期
在单位圆中,设任意角α的正弦线为有向线段MP.
正弦函数的周期性
动点P每旋转一周,正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.
同时还看到,当P的旋转量不到一周时,正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.
因此,正弦函数 y =sinx的最小正周期 2π.
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2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0,y =sin(ωx)的最小正周期设为L .
正弦函数的周期性
按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx .
令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x'
因为sinx最小正周期是2π,所以有
例如 sin 2x的最小正周期为
sin 的最小正周期为
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3. 正弦函数 y=sin(ωx+ φ) 的周期性
对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后,成形式
正弦函数的周期性
y = sin(ωx+ φ)
如的最小周期与 y = sin(3x)相同,都是
它的最小正周期与 y = sin ω x 的最小正周期相同,都是
于是,余弦函数的最小正周期与sinx的最小正周期相同,都是2π.
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二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ωx,sinx →sinωx
三角函数的单调性
而在以下的各种变换中,如
后者周期变为
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ);
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ);
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m;
后者周期都不变,亦即 Asin( ωx +φ) +m与sin(ωx)的周期相同,都是
而对复合函数 f (sinx)的周期性,由具体问题确定.
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1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
复合函数的周期性
【例题】研究以下函数的周期性:
【解答】(1) 2 sinx 的定义域为R,值域为,作图可知,它是最小正周期为2π的周期函数.
(1) 2 sinx ; (2)
(2) 的定义域为[2kπ,2kπ+π],值域为[0,1],作图可知, 它是最小正周期为2π的周期函数.
【说明】从基本函数的定义域,值域和单调性出发,通过作图,还可确定,loga x,sinx, ,sin(sinx)都是最小正周期2π的周期函数.
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2. y= sin3 x 的周期性
复合函数的周期性
对于y = sin3x =(sinx)3,L=2π肯定是它的周期,但它是否还有更小的周期呢?
我们可以通过作图判断,分别列表作图如下.
图上看到,y = sin3x 没有比2π更小的周期,故最小正周期为2π.
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3. y= sin2 x 的周期性
复合函数的周期性
对于y = sin2x =(sinx)2,L=2π肯定是它的周期,但它的最小正周期是否为2π?
可以通过作图判定,分别列表作图如下.
图上看到,y = sin2x 的最小正周期为π,不是2 π.
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